Seja o sólido
limitado pelas superfícies
e
.
- Esboce
.
- Calcule a massa de W , supondo que a densidade em
é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce e calcule a massa do sólido
limitado pelo cilindro
, pelo plano inclinado
e pelo plano
. O conteúdo central aqui é o cálculo de uma integral tripla para massa com densidade
, e vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Passo 2
Para esboçar
note que a projeção no plano
é o disco
Em cada ponto desse disco
varia de
(plano
) até o plano
que intercepta o eixo
em
quando
. Portanto
é o “cilindro” de base circular unitária cortado pelo plano inclinado.
Passo 3
A massa do sólido é dada pela integral tripla
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas fazemos
e os limites ficam
Passo 5
Substituindo na integral,
Integramos primeiro em
:
logo
Passo 6
Expandindo o quadrado e integrando em
:
Assim
Passo 7
Usando
e
,
temos
temos
Resposta
A massa do sólido
é