Seja o sólido W limitado pelas superfícies x^2+y^2=1, z+y=2 e z=0.
  1. Esboce W.
  2. Calcule a massa de W , supondo que a densidade em (x, y, z) é dada por de<a(x, y, z)=z.

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce e calcule a massa do sólido W limitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo plano inclinado z+y=2 e pelo plano z=0. O conteúdo central aqui é o cálculo de uma integral tripla para massa com densidade de<a(x,y,z)=z, e vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.

Passo 2

Para esboçar W note que a projeção no plano xy é o disco
x^2+y^2<=1
Em cada ponto desse disco z varia de 0 (plano z=0) até o plano
z = 2 - y,
que intercepta o eixo y em y=2 quando z=0. Portanto W é o “cilindro” de base circular unitária cortado pelo plano inclinado.

Passo 3

A massa do sólido é dada pela integral tripla
M ;=;integral triplaW z,dV

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz,
e os limites ficam
0 <= r <= 1, 0 <= theta < 2pi, 0 <= z <= 2 - rsintheta

Passo 5

Substituindo na integral,
M = integral0^2pi!!integral0^1!!integral0^2 - rsintheta z;r;dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z:
integral0^2 - rsintheta z,dz = (2 - rsintheta)^22,
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M = 12 integral0^2pi!!integral0^1 r,(2 - rsintheta)^2,dr,dtheta

Passo 6

Expandindo o quadrado e integrando em r:
r,(2 - rsintheta)^2 = 4r - 4r^2sintheta + r^3sin^2theta,
integral0^1(4r - 4r^2sintheta + r^3sin^2theta),dr = 2 - tfrac43sintheta + tfrac14sin^2theta
Assim
M = 12 integral0^2pil(2 - tfrac43sintheta + tfrac14sin^2thetar),dtheta

Passo 7

Usando
integral0^2pisintheta,dtheta=0 e
integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi,
temos
M = 12l(2cdot2pi + tfrac14pir) = 2pi + tfracpi8 = 17pi8

Resposta

A massa do sólido W é
M = 17pi8

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