Seja o sólido que está situado simultaneamente no interior das superfícies
Suponha que a densidade de massa de seja dada por .
Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas que permitem calcular a massa do sólido e, a seguir, responda aos seguintes itens:
b) Em coordenadas esféricas, basta uma única integral para calcular a massa de . Tomando como variável totalmente dependente e como variável parcialmente dependente e SEM USAR SIMETRIA têm-se que os limitantes dessas integrais são:
i) , ]
ii) , ]
Os limitantes para não precisam ser informados, pois são os mesmos que em cilíndricas.
Além disso, o integrando (já considerando o elemento infinitesimal de volume), é dado por .
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos montar as integrais triplas em coordenadas esféricas para calcular a massa do sólido $ S $. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar converter as superfícies que delimitam $ S $ para coordenadas esféricas e determinar os limites para as variáveis $ \rho $ e $ \phi $.
Passo 2
Vamos começar identificando as superfícies que limitam o sólido $ S $. A primeira superfície é uma elipsoide dada por:
Em coordenadas esféricas, onde:
essa equação se transforma em:
Simplificando:
Então, o limite superior para $ \rho $ depende de $ \phi $.
Passo 3
A segunda superfície é dada por:
Em coordenadas esféricas, isso fica:
Então, o limite superior para $ \phi $ é $ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) $.