Seja S o sólido que está situado simultaneamente no interior das superfícies
81 x^2+81 y^2+z^2=81 e z=raiz6 x^2+6 y^2
Suponha que a densidade de massa de S seja dada por f(x, y, z)=1(x^2+y^2)^5 z.
Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas que permitem calcular a massa do sólido S e, a seguir, responda aos seguintes itens:
b) Em coordenadas esféricas, basta uma única integral para calcular a massa de S. Tomando rho como variável totalmente dependente e phi como variável parcialmente dependente e SEM USAR SIMETRIA , têm-se que os limitantes dessas integrais são:
i) rho in[0, ]
ii) phi in[0, ]
Os limitantes para theta não precisam ser informados, pois são os mesmos que em cilíndricas.
Além disso, o integrando (já considerando o elemento infinitesimal de volume), é dado por f cdot d V= d rho d phi d theta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos montar as integrais triplas em coordenadas esféricas para calcular a massa do sólido $ S $. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar converter as superfícies que delimitam $ S $ para coordenadas esféricas e determinar os limites para as variáveis $ \rho $ e $ \phi $.

Passo 2

Vamos começar identificando as superfícies que limitam o sólido $ S $. A primeira superfície é uma elipsoide dada por:
S
Em coordenadas esféricas, onde:
81x^2 +81 y^2 + z^2 =81
essa equação se transforma em:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi,
Simplificando:
81(rho sinphi costheta)^2 + 81(rho sinphi sintheta)^2 + (rho cosphi)^2 = 81
81rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + rho^2 cos^2phi = 81,
81rho^2 sin^2phi + rho^2 cos^2phi = 81,
rho^2 (81 sin^2phi + cos^2phi) = 81,
rho^2 = 8181 sin^2phi + cos^2phi,
Então, o limite superior para $ \rho $ depende de $ \phi $.

Passo 3

A segunda superfície é dada por:
z = raiz6x^2 +6 y^2
Em coordenadas esféricas, isso fica:
rho cosphi = raiz6 (rho sinphi costheta)^2 + 6 (rho sinphi sintheta)^2,
rho cosphi = raiz6 rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta),
rho cosphi = raiz6 rho sinphi,
cosphi = raiz6 sinphi,
tanphi = 1raiz6,
phi = arctan(1raiz6)
Então, o limite superior para $ \phi $ é $ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) $.

Resposta

i) rho in [0, dfrac9raiz81 sin^2phi + cos^2phi,]
ii) phi in [0, arctan(dfrac1raiz6)]

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