Sejam A e B matrizes 4 \times 4 com \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=5. Calcule:
\operatorname{det}\left(-3 A^{2} B^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 4\times4, A e B, com \det(A)=-2 e \det(B)=5, e pede \det\bigl(-3A^2B^3\bigr).
Para resolver, vamos usar as propriedades de determinante:
  1. \det(kM)=k^n\det(M) para matriz M de ordem n e escalar k.
  2. \det(MN)=\det(M)\,\det(N).
  3. \det(M^p)=\bigl(\det(M)\bigr)^p.

Passo 2

Primeiro escrevemos
\det\bigl(-3A^2B^3\bigr) =\det\bigl((-3I)\,A^2\,B^3\bigr) =\det(-3I)\,\det(A^2)\,\det(B^3).

Passo 3

Como -3I é matriz identidade de ordem 4 multiplicada por -3,
\det(-3I)=(-3)^4=81.

Passo 4

Usando \det(A^2)=(\det A)^2 e \det(B^3)=(\det B)^3, temos
\det(A^2)=(-2)^2=4, \qquad \det(B^3)=5^3=125.

Passo 5

Multiplicando tudo:
\det(-3A^2B^3) =81\cdot4\cdot125 =81\cdot500 =40500.

Resposta

\,40500\,

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