- Seja
a soma dos algarismos do coeficiente de
na expansão de
. Então o vaior de
é igual a:
A) 28
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32
A) 28
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado nos dá a expressão
. - Pede o coeficiente de
nessa expansão e, depois, a soma dos algarismos desse coeficiente (essa soma é ). - Portanto as perguntas são:
- Qual é o coeficiente de
em ? - Qual é a soma dos algarismos desse coeficiente, isto é,
?
- Qual é o coeficiente de
Passo 2
Modelagem combinatória (por que isso funciona).
Cada um dos
fatores
contribui com um expoente que pode ser
ou
. Se nas
escolhas ocorrerem:
-
vezes o termo de expoente (isto é, escolher ), -
vezes o termo de expoente (escolher ), -
vezes o termo de expoente , -
vezes o termo de expoente ,
então temos as equações de contagem:
e para o total de expoente igual a
:
Para cada solução
não-negativa dessas equações, a contribuição para o coeficiente de
é o multinomial
porque é o número de maneiras de escolher quais dos 21 fatores fornecem cada tipo de termo. A soma dessas contribuições sobre todas as soluções dá o coeficiente buscado.
Passo 3
Resolver a equação diofantina
com
inteiros.
Como
, temos
ou
.
- Caso
: fica . - Se
então . - Se
então . - Se
então .
(Parajá excede 6.)
- Se
- Caso
: fica . - Só é possível
e (pois já sobe rápido).
- Só é possível
Agora obter
por
. Assim as soluções
são:
Passo 4
Calcular a contribuição multinomial para cada solução e somar.
- Para
:
Calcular
:
- Para
:
Uma forma prática é escolher a posição do(1 entre 21) e das (3 entre os 20 restantes):
Calcular
, então
- Para
:
- Para
:
Escolher a posição doe do :
Somando todas as contribuições obtemos o coeficiente de
:
Passo 5
Calcular a soma dos algarismos de
.
Somando dígitos:
.
Portanto
. Vamos lá, você conseguiu — o número deu certinho!
Resposta
30