1. Seja S a soma dos algarismos do coeficiente de x^{6} na expansão de \left(1+x+x^{3}+x^{5}\right)^{21}. Então o vaior de S é igual a:
    A) 28
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    E) 32

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado nos dá a expressão \left(1+x+x^{3}+x^{5}\right)^{21}.
  • Pede o coeficiente de x^{6} nessa expansão e, depois, a soma dos algarismos desse coeficiente (essa soma é S).
  • Portanto as perguntas são:
    1. Qual é o coeficiente de x^{6} em \left(1+x+x^{3}+x^{5}\right)^{21}?
    2. Qual é a soma dos algarismos desse coeficiente, isto é, S?

Passo 2

Modelagem combinatória (por que isso funciona).
Cada um dos 21 fatores \left(1+x+x^{3}+x^{5}\right) contribui com um expoente que pode ser 0,1,3 ou 5. Se nas 21 escolhas ocorrerem:
  • a vezes o termo de expoente 0 (isto é, escolher 1),
  • b vezes o termo de expoente 1 (escolher x),
  • c vezes o termo de expoente 3,
  • d vezes o termo de expoente 5,
então temos as equações de contagem:
a+b+c+d=21
e para o total de expoente igual a 6:
b+3c+5d=6.
Para cada solução (a,b,c,d) não-negativa dessas equações, a contribuição para o coeficiente de x^{6} é o multinomial
\frac{21!}{a!\,b!\,c!\,d!},
porque é o número de maneiras de escolher quais dos 21 fatores fornecem cada tipo de termo. A soma dessas contribuições sobre todas as soluções dá o coeficiente buscado.

Passo 3

Resolver a equação diofantina \;b+3c+5d=6 com b,c,d\ge 0 inteiros.
Como 5d\le 6, temos d=0 ou d=1.
  • Caso d=0: fica b+3c=6.
    • Se c=0 então b=6.
    • Se c=1 então b=3.
    • Se c=2 então b=0.
      (Para c\ge 3 já excede 6.)
  • Caso d=1: fica b+3c=1.
    • Só é possível c=0 e b=1 (pois 3c já sobe rápido).
Agora obter a por a=21-b-c-d. Assim as soluções (a,b,c,d) são:
  • (15,6,0,0)
  • (17,3,1,0)
  • (19,0,2,0)
  • (19,1,0,1)

Passo 4

Calcular a contribuição multinomial para cada solução e somar.
  1. Para (a,b,c,d)=(15,6,0,0):
\frac{21!}{15!\,6!}=\binom{21}{6}.
Calcular \binom{21}{6}:
\binom{21}{6}=\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16}{6!} =\frac{39070080}{720}=54264.
  1. Para (17,3,1,0):
    Uma forma prática é escolher a posição do c (1 entre 21) e das b (3 entre os 20 restantes):
\frac{21!}{17!\,3!\,1!}=21\cdot\binom{20}{3}.
Calcular \binom{20}{3}=\dfrac{20\cdot19\cdot18}{6}=1140, então
21\cdot1140=23940.
  1. Para (19,0,2,0):
\frac{21!}{19!\,2!}=\binom{21}{2}=210.
  1. Para (19,1,0,1):
    Escolher a posição do d e do b:
\frac{21!}{19!\,1!\,1!}=21\cdot20=420.
Somando todas as contribuições obtemos o coeficiente de x^{6}:
54264 + 23940 + 210 + 420 = 78834.

Passo 5

Calcular a soma dos algarismos de 78834.
Somando dígitos: 7+8+8+3+4.
7+8+8+3+4=30.
Portanto S=30. Vamos lá, você conseguiu — o número deu certinho!

Resposta

30

Exercícios relacionados