onde z satisfaz \,z^{2021}=1 e z\neq1. Preciso calcular S, que é a soma dos quadrados dos algarismos do resultado numérico dessa expressão (ou seja, calcular o valor da soma, escrever esse valor em base 10, pegar cada algarismo, elevar ao quadrado e somar esses quadrados).
Informações relevantes:
z^{2021}=1 e z\neq1, logo z é uma raiz de unidade de ordem divisora de 2021, e em particular para todo k vale z^{2021}=1\Rightarrow z^{2021-k}=z^{-k}.
A soma tem 2020 termos, com índices k=1,2,\dots,2020.
O objetivo final é a soma dos quadrados dos algarismos do número que representa essa soma.
Passo 2
Vou tentar simplificar a soma agrupando termos em pares que tenham uma relação simples. Considere, para um k entre 1 e 2020, o termo correspondente e o termo com índice 2021-k:
Logo, cada par formado pelos índices k e 2021-k contribui com 1 para a soma total.
Passo 4
Preciso verificar que isso realmente emparelha todos os termos sem sobreposição. Suponha que algum índice k fosse igual a 2021-k; então 2k=2021, o que não tem solução inteira porque 2021 é ímpar. Assim todos os 2020 índices se agrupam em pares distintos (k,2021-k). O número de pares é
\frac{2020}{2}=1010.
Como cada par soma 1, a soma total dos 2020 termos é
Agora vamos transformar esse resultado em S. O valor da soma é o número 1010. Os algarismos desse número são, da esquerda para a direita, 1,0,1,0. A definição de S pede a soma dos quadrados desses algarismos, ou seja