Sejam r_{1}, r_{2}, r_{3}, \ldots, r_{20} as raízes do polinômio p(x)=x^{20}-7 x^{3}+1. Se o resultado da expressão \sum_{k=1}^{20}\left(\frac{1}{r_{k}^{2}+1}\right) pode ser escrito da forma m+n \cdot i com i a unidade imaginária dos complexos. Sabendo que \frac{m}{n} é uma fração irredutível que será representada por \frac{p}{q}, então o valor do numérico de p+q
é iqual a: é igual a:
A) 40
B) 41
C) 42
D) 43
E) 44

Passo 1

O enunciado dá um polinômio p(x)=x^{20}-7x^{3}+1 e seus vinte zeros \{r_{1},r_{2},\dots,r_{20}\}. Pede o valor da soma
\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k^{2}+1}.
Depois diz que esse resultado pode ser escrito da forma m+n\cdot i (com i a unidade imaginária) e pede que, sabendo que \dfrac{m}{n} reduzida é \dfrac{p}{q}, calcule-se o valor numérico de p+q.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio é p(x)=x^{20}-7x^{3}+1.
  • As raízes são r_1,\dots,r_{20}.
  • Precisa-se do valor de \displaystyle S:=\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k^{2}+1}.
  • Em seguida há uma instrução sobre escrever o resultado como m+n i e formar a fração \dfrac{m}{n}; daí obter \dfrac{p}{q} irreduzível e calcular p+q.
(Observação: a solução iniciará no Passo 2, aqui apenas se identificou o que foi dado e o que é pedido.)

Passo 2

Vamos transformar a soma de termos do tipo \dfrac{1}{r_k^{2}+1} em algo que possamos obter usando o polinômio p.
Primeiro, uma identidade algébrica útil: para qualquer número complexo r,
\frac{1}{r^{2}+1}=\frac{1}{(r-i)(r+i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{r-i}-\frac{1}{r+i}\right).
Explico rapidamente: resolvedor de frações parciais para \dfrac{1}{(r-i)(r+i)} A/(r-i)+B/(r+i). Igualando coeficientes obtém-se A=1/(2i) e B=-1/(2i), que leva à fórmula acima.
Aplicando essa identidade à soma sobre todas as raízes r_k, obtemos
S=\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k^{2}+1} =\frac{1}{2i}\left(\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k-i}-\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k+i}\right).

Passo 3

Agora precisamos avaliar somas do tipo \displaystyle \sum_{k}\frac{1}{r_k-a} para a=i e a=-i. Para isso usamos uma propriedade padrão de polinômios:
Se p(x)=\prod_{k=1}^{20}(x-r_k) (até constante multiplicativa, aqui o coeficiente líder é 1), então
\frac{p'(x)}{p(x)}=\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{x-r_k}.
Isso é consequência do logaritmo derivado de p(x). Avaliando em x=a \dfrac{p'(a)}{p(a)}=\sum_{k}\dfrac{1}{a-r_k}.
Assim, note que
\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k-a}=-\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{a-r_k}=-\frac{p'(a)}{p(a)}.
Substituindo em S (com a=i e a=-i) obtemos
S=\frac{1}{2i}\Big(-\frac{p'(i)}{p(i)}+\frac{p'(-i)}{p(-i)}\Big).

Passo 4

Vamos calcular p(i),\,p(-i),\,p'(i),\,p'(-i). Primeiro p(x)=x^{20}-7x^3+1 e p'(x)=20x^{19}-21x^{2}.
Calcule p(i):
i^{20}=(i^{4})^{5}=1,\qquad i^{3}=-i,
portanto
p(i)=i^{20}-7i^{3}+1=1-7(-i)+1=2+7i.
Calcule p'(i):
i^{19}=i^{16}\,i^{3}=1\cdot(-i)=-i,
então
p'(i)=20i^{19}-21i^{2}=20(-i)-21(-1)=21-20i.
Agora para -i:
(-i)^{20}=1 (porque (-1)^{20}=1 e i^{20}=1), e (-i)^3 = -i^3 = -(-i)=i. Logo
p(-i)=1-7(i)+1=2-7i.
E
(-i)^{19}=(-1)^{19}i^{19}=-i^{19} = -(-i)=i,
portanto
p'(-i)=20\cdot i -21(-1)=21+20i.
Resumo:
p(i)=2+7i,\quad p'(i)=21-20i,\quad p(-i)=2-7i,\quad p'(-i)=21+20i.

Passo 5

Substituindo esses valores em
S=\frac{1}{2i}\Big(-\frac{p'(i)}{p(i)}+\frac{p'(-i)}{p(-i)}\Big)
repare que \dfrac{p'(-i)}{p(-i)} é o conjugado de \dfrac{p'(i)}{p(i)} (porque numerador e denominador trocam para seus conjugados). Assim se chamarmos
B:=\frac{p'(i)}{p(i)},
então \dfrac{p'(-i)}{p(-i)}=\overline{B}, e a expressão dentro dos parênteses é -B+\overline{B}=\overline{B}-B.
Para computar explicitamente B:
B=\frac{21-20i}{2+7i}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
B=\frac{(21-20i)(2-7i)}{(2+7i)(2-7i)}=\frac{(21\cdot2-21\cdot7i-20i\cdot2+140i^{2})}{4+49}.
Calcule numerador: 21\cdot2=42, -21\cdot7i=-147i, -20i\cdot2=-40i, 140i^{2}=140(-1)=-140.
Somando reais: 42-140=-98. Somando imaginários: -147i-40i=-187i.
O denominador é 4+49=53. Logo
B=\frac{-98-187i}{53}=-\frac{98}{53}-\frac{187}{53}i.

Passo 6

Agora a parte imaginária de B é \operatorname{Im}(B)=-\dfrac{187}{53}. Usando a ideia anterior:
S=\frac{1}{2i}\big(\overline{B}-B\big).
Para B=u+iv tem-se \overline{B}-B=(u-iv)-(u+iv)=-2iv. Aplicando com v=\operatorname{Im}(B):
S=\frac{1}{2i}\big(-2i\operatorname{Im}(B)\big)=-\operatorname{Im}(B).
Assim
S=-\operatorname{Im}(B)=-\left(-\frac{187}{53}\right)=\frac{187}{53}.
Portanto o valor da soma é
\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k^{2}+1}=\frac{187}{53}.
Vale observar que este resultado é um número real (a parte imaginária é zero).

Passo 7

Interpretação final em relação ao enunciado: se escrevermos o resultado na forma m+n\cdot i, então temos m=\dfrac{187}{53} e n=0.
O enunciado, porém, pede que se tome a fração \dfrac{m}{n} e a reduza para \dfrac{p}{q} irreduzível e então some p+q. Mas como n=0, a razão \dfrac{m}{n} não está definida (divisão por zero). Logo a instrução final do enunciado é incompatível com o fato de que a soma é real (tem parte imaginária zero). Em outras palavras: a soma é \dfrac{187}{53}, mas a operação pedida \dfrac{m}{n} não faz sentido porque n=0.
Portanto não é possível determinar um par de inteiros p,q conforme pedido (a menos que o enunciado tenha um erro de escrita).

Resposta

O valor da soma é \dfrac{187}{53}. Como a soma é real, tem m=\dfrac{187}{53} e n=0, portanto \dfrac{m}{n} não está definida (divisão por zero) — a instrução final do enunciado é inconsistente com o resultado.

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