Sejam r_{1}, r_{2}, r_{3}, \ldots, r_{20} as raízes do polinômio p(x)=x^{20}-7 x^{3}+1. Se o resultado da expressão \sum_{k=1}^{20}\left(\frac{1}{r_{k}^{2}+1}\right) pode ser escrito da forma m+n \cdot i com i a unidade imaginária dos complexos. Sabendo que \frac{m}{n} é uma fração irredutível que será representada por \frac{p}{q}, então o valor do numérico de p+q
é iqual a: é igual a:
A) 40
B) 41
C) 42
D) 43
E) 44
Passo 1
O enunciado dá um polinômio p(x)=x^{20}-7x^{3}+1 e seus vinte zeros \{r_{1},r_{2},\dots,r_{20}\}. Pede o valor da soma
\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k^{2}+1}.
Depois diz que esse resultado pode ser escrito da forma m+n\cdot i (com i a unidade imaginária) e pede que, sabendo que \dfrac{m}{n} reduzida é \dfrac{p}{q}, calcule-se o valor numérico de p+q.
Informações relevantes fornecidas:
O polinômio é p(x)=x^{20}-7x^{3}+1.
As raízes são r_1,\dots,r_{20}.
Precisa-se do valor de \displaystyle S:=\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{r_k^{2}+1}.
Em seguida há uma instrução sobre escrever o resultado como m+n i e formar a fração \dfrac{m}{n}; daí obter \dfrac{p}{q} irreduzível e calcular p+q.
(Observação: a solução iniciará no Passo 2, aqui apenas se identificou o que foi dado e o que é pedido.)
Passo 2
Vamos transformar a soma de termos do tipo \dfrac{1}{r_k^{2}+1} em algo que possamos obter usando o polinômio p.
Primeiro, uma identidade algébrica útil: para qualquer número complexo r,
Explico rapidamente: resolvedor de frações parciais para \dfrac{1}{(r-i)(r+i)} dá A/(r-i)+B/(r+i). Igualando coeficientes obtém-se A=1/(2i) e B=-1/(2i), que leva à fórmula acima.
Aplicando essa identidade à soma sobre todas as raízes r_k, obtemos
Vale observar que este resultado é um número real (a parte imaginária é zero).
Passo 7
Interpretação final em relação ao enunciado: se escrevermos o resultado na forma m+n\cdot i, então temos m=\dfrac{187}{53} e n=0.
O enunciado, porém, pede que se tome a fração \dfrac{m}{n} e a reduza para \dfrac{p}{q} irreduzível e então some p+q. Mas como n=0, a razão \dfrac{m}{n} não está definida (divisão por zero). Logo a instrução final do enunciado é incompatível com o fato de que a soma é real (tem parte imaginária zero). Em outras palavras: a soma é \dfrac{187}{53}, mas a operação pedida \dfrac{m}{n} não faz sentido porque n=0.
Portanto não é possível determinar um par de inteiros p,q conforme pedido (a menos que o enunciado tenha um erro de escrita).
Resposta
O valor da soma é \dfrac{187}{53}. Como a soma é real, tem m=\dfrac{187}{53} e n=0, portanto \dfrac{m}{n} não está definida (divisão por zero) — a instrução final do enunciado é inconsistente com o resultado.