Seja V o subconjunto de R^4 dos vetores (x, y, z, w) que satisfazem a equação x+y-z=0.
Qual a dimensão de V.

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y,z,w)in R^4 mid x + y - z = 0
e pede a dimensão de V. Aqui o conteúdo é subespaços lineares de R^n e o que vamos usar é o fato de que cada equação linear independente reduz em 1 a dimensão do espaço.

Passo 2

A condição x + y - z = 0 é uma única restrição linear sobre R^4. Se considerarmos a aplicação linear
Acolon R^4 to R, A(x,y,z,w)=x+y-z,
então V=ker(A). Como A tem posto rank(A)=1, pelo Teorema da Dimensão ou posto-nulidade temos
dim(ker(A)) = 4 - rank(A) = 4 - 1 = 3

Passo 3

Para ficar mais claro, podemos parametrizar V. Da equação x+y-z=0 segue z=x+y, e x,y,w são livres. Logo todo vetor de V é
(x,y,z,w) = (x,y,x+y,w) = x,(1,0,1,0) + y,(0,1,1,0) + w,(0,0,0,1)
Os três vetores
(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)
são linearmente independentes e geram V, mostrando que dim(V)=3.

Resposta

3

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