Supondo as matrizes A, B e C inversíveis, determine X em cada equação.
[(A X)^-1 B]^T=C

Passo 1

O enunciado pede para isolar a matriz X na equação
l[(A,X)^-1Br]^T = C
Saberemos usar as propriedades
(MN)^-1 = N^-1M^-1, (MN)^T = N^TM^T, l(M^Tr)^-1 = l(M^-1r)^T

Passo 2

Começamos aplicando a regra do transposto em um produto:
l[(A,X)^-1Br]^T = B^T,l((A,X)^-1r)^T
Logo a equação vira
B^T,l((A,X)^-1r)^T = C

Passo 3

Agora usamos l((A,X)^-1r)^T = l((A,X)^Tr)^-1 e (A,X)^T=X^TA^T, obtendo
l((A,X)^-1r)^T = l(X^TA^Tr)^-1 = (A^T)^-1(X^T)^-1
Substituindo em B^T,( (A,X)^-1 )^T=C
B^T,(A^T)^-1,(X^T)^-1 = C

Passo 4

Isolamos (X^T)^-1 multiplicando à esquerda por l(B^T(A^T)^-1r)^-1. Como l(B^T(A^T)^-1r)^-1 = A^T(B^T)^-1, obtemos
(X^T)^-1 = A^T(B^T)^-1,C

Passo 5

Invertendo ambos os lados para achar X^T:
X^T =l(A^T(B^T)^-1Cr)^-1 = C^-1,B^T,(A^T)^-1 = C^-1,B^T,A^-T

Passo 6

Por fim, transpondo X^T para obter X:
X = l(X^Tr)^T = l(C^-1B^TA^-Tr)^T = A^-1B,C^-T

Resposta

X = A^-1,B,C^-T

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