Sejam
e
. Faça o que se pede:
Determine as dimensões de
e
;
Determine as dimensões de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Tá pedindo pra gente encontrar as dimensões dos subespaços
e
em
. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e suas dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como identificar esses subespaços e calcular suas dimensões usando vetores e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço
. Isso significa que, em qualquer vetor desse conjunto, o valor de
é igual ao de
, e o valor de
é sempre zero.
Passo 3
Vamos expressar os vetores de
de forma mais clara. Se
e
, podemos escrever qualquer vetor
em
como
. Isso pode ser fatorado como
, onde
é um número real.
Passo 4
Observamos que todos os vetores em
são múltiplos do vetor
. Isso quer dizer que
é gerado por esse único vetor. Em termos de álgebra linear, isso significa que a base de
tem apenas um vetor.
Passo 5
Como a base de
tem um vetor, a dimensão de
é 1. A dimensão de um subespaço é igual ao número de vetores na sua base, que representa o número de direções independentes nesse espaço.
Passo 6
Agora, vamos analisar o subespaço
. Aqui, a condição é que o valor de
é o negativo de
, e
pode ser qualquer valor real.
Passo 7
Vamos expressar os vetores de
de maneira mais clara. Se
, podemos escrever qualquer vetor
em
como
. Isso pode ser reescrito como
.
Passo 8
Percebemos que qualquer vetor em
pode ser formado pela combinação linear dos vetores
e
. Esses dois vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 9
Como a base de
é formada por dois vetores independentes, a dimensão de
é 2. Isso significa que
tem duas direções independentes no espaço tridimensional.
Resposta
A dimensão de
é 1 e a dimensão de
é 2.