Sejam V=R^3, U=(x, y, z) in V: x=z, y=0 e W=(x, y, z) in V: x=-z. Faça o que se pede:
Determine as dimensões de U e W;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Tá pedindo pra gente encontrar as dimensões dos subespaços U e W em R^3 . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e suas dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como identificar esses subespaços e calcular suas dimensões usando vetores e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço U = (x, y, z) in R^3 : x = z, y = 0 . Isso significa que, em qualquer vetor desse conjunto, o valor de x é igual ao de z , e o valor de y é sempre zero.

Passo 3

Vamos expressar os vetores de U de forma mais clara. Se x = z e y = 0 , podemos escrever qualquer vetor (x, y, z) em U como (x, 0, x) . Isso pode ser fatorado como x(1, 0, 1) , onde x é um número real.

Passo 4

Observamos que todos os vetores em U são múltiplos do vetor (1, 0, 1) . Isso quer dizer que U é gerado por esse único vetor. Em termos de álgebra linear, isso significa que a base de U tem apenas um vetor.

Passo 5

Como a base de U tem um vetor, a dimensão de U é 1. A dimensão de um subespaço é igual ao número de vetores na sua base, que representa o número de direções independentes nesse espaço.

Passo 6

Agora, vamos analisar o subespaço W = (x, y, z) in R^3 : x = -z . Aqui, a condição é que o valor de x é o negativo de z , e y pode ser qualquer valor real.

Passo 7

Vamos expressar os vetores de W de maneira mais clara. Se x = -z , podemos escrever qualquer vetor (x, y, z) em W como (-z, y, z) . Isso pode ser reescrito como z(-1, 0, 1) + y(0, 1, 0) .

Passo 8

Percebemos que qualquer vetor em W pode ser formado pela combinação linear dos vetores (-1, 0, 1) e (0, 1, 0) . Esses dois vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 9

Como a base de W é formada por dois vetores independentes, a dimensão de W é 2. Isso significa que W tem duas direções independentes no espaço tridimensional.

Resposta

A dimensão de U é 1 e a dimensão de W é 2.

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