Sejam V=R^3, U=(x, y, z) in V: x=z, y=0 e W=(x, y, z) in V: x=-z. Faça o que se pede:
Determine U+W e dim(U+W);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V que é o R^3, ou seja, todo vetor tem três componentes: (x, y, z). Também temos dois subespaços, U e W. O U é formado por vetores onde x = z e y = 0, e o W é formado por vetores onde x = -z. Nosso objetivo é encontrar a soma desses dois subespaços, U + W, e descobrir qual é a dimensão desse espaço resultante. Para isso, vamos precisar entender como somar vetores desses subespaços e usar conceitos de bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma base para U. Como em U temos x = z e y = 0, podemos expressar os vetores de U como (x, 0, x). Isso pode ser escrito como x cdot (1, 0, 1). Portanto, uma base para U é (1, 0, 1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para W. Em W, temos x = -z, então os vetores são (x, y, -x). Podemos separar isso em duas partes: x cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 1, 0). Assim, uma base para W é (1, 0, -1), (0, 1, 0).

Passo 4

Para encontrar U + W, vamos somar todos os vetores de U com todos os vetores de W. Isso significa pegar todas as combinações possíveis de vetores de U e W. Então, qualquer vetor em U + W pode ser escrito como (1, 0, 1) cdot a + (1, 0, -1) cdot b + (0, 1, 0) cdot c, onde a, b, e c são números reais.

Passo 5

Vamos simplificar isso:
(1, 0, 1)a + (1, 0, -1)b + (0, 1, 0)c = (a + b, c, a - b)
Isso mostra que qualquer vetor em U + W tem a forma (a + b, c, a - b), onde a, b, e c são reais.

Passo 6

Agora, queremos ver se os vetores (1, 0, 1), (1, 0, -1) e (0, 1, 0) são linearmente independentes. Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0
Calculando o determinante, vemos que a matriz tem posto 2, o que significa que apenas dois desses vetores são linearmente independentes. Portanto, a base de U + W tem 2 vetores.

Resposta

O espaço U + W é formado por todos os vetores da forma (a + b, c, a - b), com a, b, e c reais. A dimensão de U + W é 2.

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