Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V que é o , ou seja, todo vetor tem três componentes: . Também temos dois subespaços, U e W. O U é formado por vetores onde e , e o W é formado por vetores onde . Nosso objetivo é encontrar a soma desses dois subespaços, , e descobrir qual é a dimensão desse espaço resultante. Para isso, vamos precisar entender como somar vetores desses subespaços e usar conceitos de bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma base para U. Como em U temos e , podemos expressar os vetores de U como . Isso pode ser escrito como . Portanto, uma base para U é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para W. Em W, temos , então os vetores são . Podemos separar isso em duas partes: . Assim, uma base para W é .
Passo 4
Para encontrar , vamos somar todos os vetores de U com todos os vetores de W. Isso significa pegar todas as combinações possíveis de vetores de U e W. Então, qualquer vetor em pode ser escrito como , onde , , e são números reais.
Passo 5
Vamos simplificar isso:
Isso mostra que qualquer vetor em tem a forma , onde , , e são reais.
Passo 6
Agora, queremos ver se os vetores , e são linearmente independentes. Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante, vemos que a matriz tem posto 2, o que significa que apenas dois desses vetores são linearmente independentes. Portanto, a base de U + W tem 2 vetores.
Resposta
O espaço U + W é formado por todos os vetores da forma (a + b, c, a - b), com a, b, e c reais. A dimensão de U + W é 2.