Sejam M2(R) o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 com coeficientes reais e T: M2(R) longrightarrow R^4 a seguinte aplicação:
T([ll a & b c & d ])=(a, b, c, d)
Mostre que T é uma aplicação linear e um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a aplicação T que transforma uma matriz 2 times 2 em um vetor R^4 é linear e um isomorfismo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma aplicação linear e o que caracteriza um isomorfismo no contexto de espaços vetoriais. Então, vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma aplicação linear. Basicamente, uma função T entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades importantes:
  1. Adição de vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(ku) = kT(u)
No nosso caso, T pega uma matriz a & b c & d e transforma em um vetor (a, b, c, d) . Vamos verificar se essas duas propriedades são verdadeiras para T .

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Se temos duas matrizes A = a & b c & d e B = e & f g & h , então:
T(A + B) = T( a+e & b+f c+g & d+h ) = (a+e, b+f, c+g, d+h)
Por outro lado:
T(A) + T(B) = (a, b, c, d) + (e, f, g, h) = (a+e, b+f, c+g, d+h)
Como T(A + B) = T(A) + T(B) , a primeira propriedade é satisfeita.
Verificando a multiplicação por escalar:
Se k é um escalar e A = a & b c & d , então:
T(kA) = T( ka & kb kc & kd ) = (ka, kb, kc, kd)
E:
kT(A) = k(a, b, c, d) = (ka, kb, kc, kd)
Então, T(kA) = kT(A) , garantindo a segunda propriedade.
Como as duas propriedades são verdadeiras, T é uma aplicação linear.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que T é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma aplicação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (cada vetor no espaço de chegada é imagem de no máximo um vetor no espaço de partida) e sobrejetora (cada vetor no espaço de chegada é imagem de pelo menos um vetor no espaço de partida).
Verificando a injetividade:
Suponha que T(A) = T(B) . Isso significa que:
(a, b, c, d) = (e, f, g, h)
Logo, a = e , b = f , c = g , e d = h , o que implica que A = B . Portanto, T é injetora.
Verificando a sobrejetividade:
Seja (x1, x2, x3, x4) in R^4 . Precisamos encontrar uma matriz A = a & b c & d tal que:
T(A) = (x1, x2, x3, x4)
Basta escolher a = x1 , b = x2 , c = x3 , e d = x4 . Assim, A = x1 & x2 x3 & x4 satisfaz T(A) = (x1, x2, x3, x4) . Portanto, T é sobrejetora.
Como T é linear, injetora e sobrejetora, ela é um isomorfismo.

Resposta

A aplicação T é linear e um isomorfismo entre M2(R) e R^4 .

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