Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
\operatorname{Em} P_{2}(\mathbb{R}): p_{1}=1+t, p_{2}=1-t, p_{3}=2.

Passo 1

O enunciado dá três polinômios em P_{2}(\mathbb{R}) e pede: (a) uma base para o subespaço V=\operatorname{span}\{p_{1},p_{2},p_{3}\}, (b) a dimensão de V e (c) completar a base encontrada para obter uma base de P_{2}(\mathbb{R}).
Informações fornecidas:
p_{1}=1+t,\qquad p_{2}=1-t,\qquad p_{3}=2.
Observação útil (que vou usar depois): o espaço P_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3 e a base padrão costuma ser \{1,t,t^{2}\}. Vou representar cada polinômio por suas coordenadas nessa base padrão.

Passo 2

Converter os polinômios em vetores de coordenadas na base padrão \{1,t,t^{2}\}. Isso facilita testar dependência linear.
Representações:
p_{1}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad p_{2}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad p_{3}\longleftrightarrow \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Explicação rápida do porquê: o polinômio a+bt+ct^{2} corresponde ao vetor \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Aqui 1+t tem coeficientes a=1,b=1,c=0, etc.

Passo 3

Verificar se há dependência entre p_{1},p_{2},p_{3}. Uma maneira direta: somar p_{1} e p_{2}:
p_{1}+p_{2}=(1+t)+(1-t)=2,
logo
p_{1}+p_{2}=p_{3}.
Portanto p_{3} é combinação linear de p_{1} e p_{2} e não acrescenta dimensão ao gerador. Conclusão: o conjunto \{p_{1},p_{2},p_{3}\} é linearmente dependente e podemos descartar p_{3} ao buscar uma base de V.

Passo 4

Mostrar que p_{1} e p_{2} são linearmente independentes (ou seja, formam uma base de V).
Suponha que existam scalars a,b tais que
a p_{1}+b p_{2}=0 \quad\text{(polinômio nulo)}.ô
Escrevendo por coeficientes:
a(1+t)+b(1-t)=0 \quad\Longrightarrow\quad (a+b)+ (a-b)t = 0.
Como o polinômio nulo tem todos os coeficientes zero, igualamos coeficientes:
a+b=0,\qquad a-b=0.
Somando as duas equações dá 2a=0\Rightarrow a=0; então b=0. Logo apenas a combinação trivial anula os vetores, o que prova independência linear de p_{1} e p_{2}.
Portanto \{p_{1},p_{2}\} é um conjunto gerador de V e é linearmente independente — é uma base de V.

Passo 5

Determinar a dimensão de V.
Como a base de V tem dois vetores, segue que
\dim(V)=2.
Também é coerente com as coordenadas observadas: todos os vetores tinham coordenada em t^{2} igual a zero, então V está contido no subespaço dos polinômios sem termo em t^{2}, que é de dimensão 2.

Passo 6

Completar a base de V para uma base de P_{2}(\mathbb{R}).
Conhecendo que \dim(P_{2}(\mathbb{R}))=3, precisamos adicionar um polinômio que não esteja em V. Uma escolha natural é t^{2}, porque todo elemento de V tem coeficiente de t^{2} igual a zero, enquanto t^{2} tem coeficiente 1 nessa posição.
Mostrar que \{p_{1},p_{2},t^{2}\} é independente: suponha \alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma t^{2}=0. Em coordenadas,
\alpha\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
o que dá o sistema
\alpha+\beta=0,\qquad \alpha-\beta=0,\qquad \gamma=0.
Dessas equações segue \alpha=\beta=0 e \gamma=0. Assim são linearmente independentes e, como são três vetores num espaço de dimensão 3, formam uma base de P_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

\{\,1+t,\;1-t\,\}
\dim(V)=2
\{\,1+t,\;1-t,\;t^{2}\,\}

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