Usando a definição epsilon-\delta de limite mostre que
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{3}-2 x^{2}+x\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, via definição \varepsilon - \delta de limite, que
\lim_{x\to1}\bigl(x^{3}-2x^{2}+x\bigr)=0.
Isso significa: dado \varepsilon>0, encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, valha
\bigl|x^{3}-2x^{2}+x-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos reescrevendo a diferença que queremos controlar:
\bigl|x^{3}-2x^{2}+x\bigr| =\bigl|x\,(x^{2}-2x+1)\bigr|.

Passo 3

Observamos que x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Logo
\bigl|x^{3}-2x^{2}+x\bigr| =\bigl|x\bigl(x-1\bigr)^{2}\bigr| =|x|\;\bigl|x-1\bigr|^{2}.

Passo 4

Para controlar |x|, impomos adicionalmente
|x-1|<1\quad\Longrightarrow\quad |x|=|\,x-1+1\,|\le|x-1|+|1|<1+1=2.
Assim, sempre que 0<|x-1|<1, vale
\bigl|x^{3}-2x^{2}+x\bigr|<2\,\bigl|x-1\bigr|^{2}.

Passo 5

Agora damos a receita para \delta. Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\min\Bigl\{1,\;\sqrt{\tfrac{\varepsilon}{2}}\Bigr\}.
Então, se 0<|x-1|<\delta, temos simultaneamente |x-1|<1 e
\bigl|x^{3}-2x^{2}+x\bigr|<2\,\bigl|x-1\bigr|^{2}\le2\,\bigl(\sqrt{\tfrac{\varepsilon}{2}}\bigr)^{2}=\varepsilon.
Isso completa a verificação da definição.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to1}\bigl(x^{3}-2x^{2}+x\bigr)=0.

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