Sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares
e
. Preciso mostrar a desigualdade entre nulidades
Informações relevantes fornecidas:
-
é um mapa linear de em . -
é um mapa linear de em . -
significa a dimensão do núcleo (kernel) de , isto é .
O que o enunciado pede: provar a desigualdade acima para as dimensões dos núcleos.
Passo 2
Definições e ferramenta principal que vou usar (explicada com calma).
- Definição de núcleo: para uma transformação linear
,
- Definição de nulidade:
. - Teorema da dimensão (rank–nullity): se
é linear e é de dimensão finita, então
Explicando o que isso diz de modo concreto: o espaço de partida se decompõe, em termos de dimensão, entre a parte que é anulada por
(o núcleo) e a parte que realmente é enviada para a imagem de
.
Passo 3
Observação útil sobre o núcleo da composição. Para
vale
ou seja, o núcleo de
é exatamente o pré‑imagem pelo
do núcleo de
. Essa igualdade é apenas a tradução da definição de pré‑imagem:
com
.
Passo 4
Lema técnico (muito útil) e sua prova elementar.
Lema: se é linear e
é subespaço, então
é subespaço de
e
Lema: se
Prova do lema, passo a passo:
- Considere a restrição de
ao domínio :
- Essa restrição é linear por herança. O núcleo de
é exatamente (porque se e , então ; e se então automaticamente porque ). - A imagem de
é por construção (todo valor de com está em e em ; reciprocamente, qualquer vetor em é para algum , e esse pertence a ). - Agora aplique rank–nullity à transformação linear
: a dimensão do domínio é soma da dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem, isto é
Isso conclui a prova do lema.
Passo 5
Aplicação do lema ao caso concreto.
Escolha e
. Como vimos no Passo 3,
. Pelo lema,
Escolha
Aqui cada termo significa:
-
é . -
é . -
é a dimensão da interseção entre e a imagem de .
Passo 6
Conclusão final (argumento que leva à desigualdade).
A interseção é um subespaço de
. Para qualquer subespaço
de um espaço
vale
. Aplicando isso obtemos
A interseção
Substituindo essa desigualdade na igualdade do Passo 5 segue que
Em palavras: a nulidade de
é no máximo a soma das nulidades de
e de
. (Não escrevo a desigualdade final isolada aqui porque a seção de resposta deve conter apenas a resposta final.)