Sejam \tau \in L(U, V) e \sigma \in L(V, W). Mostre que \operatorname{null}(\sigma \tau) \leq \operatorname{null}(\tau)+\operatorname{null}(\sigma).

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares \tau\in L(U,V) e \sigma\in L(V,W). Preciso mostrar a desigualdade entre nulidades
\operatorname{null}(\sigma\tau)\le \operatorname{null}(\tau)+\operatorname{null}(\sigma).
Informações relevantes fornecidas:
  • \tau é um mapa linear de U em V.
  • \sigma é um mapa linear de V em W.
  • \operatorname{null}(T) significa a dimensão do núcleo (kernel) de T, isto é \operatorname{null}(T)=\dim(\ker T).
    O que o enunciado pede: provar a desigualdade acima para as dimensões dos núcleos.

Passo 2

Definições e ferramenta principal que vou usar (explicada com calma).
  • Definição de núcleo: para uma transformação linear T:X\to Y,
\ker T=\{x\in X \mid T(x)=0\}.
  • Definição de nulidade: \operatorname{null}(T)=\dim(\ker T).
  • Teorema da dimensão (rank–nullity): se T:X\to Y é linear e X é de dimensão finita, então
\dim X=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T).
Explicando o que isso diz de modo concreto: o espaço de partida se decompõe, em termos de dimensão, entre a parte que é anulada por T (o núcleo) e a parte que realmente é enviada para a imagem de T.

Passo 3

Observação útil sobre o núcleo da composição. Para \sigma\tau:U\to W vale
\ker(\sigma\tau)=\{u\in U\mid \sigma(\tau(u))=0\}=\tau^{-1}(\ker\sigma),
ou seja, o núcleo de \sigma\tau é exatamente o pré‑imagem pelo \tau do núcleo de \sigma. Essa igualdade é apenas a tradução da definição de pré‑imagem: \tau^{-1}(S)=\{u\in U\mid \tau(u)\in S\} com S=\ker\sigma.

Passo 4

Lema técnico (muito útil) e sua prova elementar.
Lema: se T:U\to V é linear e S\subset V é subespaço, então T^{-1}(S) é subespaço de U e
\dim(T^{-1}(S))=\dim(\ker T)+\dim\bigl(S\cap \operatorname{Im}T\bigr).
Prova do lema, passo a passo:
  • Considere a restrição de T ao domínio T^{-1}(S):
T|_{T^{-1}(S)}:T^{-1}(S)\to S\cap\operatorname{Im}T.
  • Essa restrição é linear por herança. O núcleo de T|_{T^{-1}(S)} é exatamente \ker T (porque se u\in T^{-1}(S) e T(u)=0, então u\in\ker T; e se u\in\ker T então u\in T^{-1}(S) automaticamente porque 0\in S).
  • A imagem de T|_{T^{-1}(S)} é S\cap\operatorname{Im}T por construção (todo valor de T(u) com u\in T^{-1}(S) está em S e em \operatorname{Im}T; reciprocamente, qualquer vetor em S\cap\operatorname{Im}T é T(u) para algum u\in U, e esse u pertence a T^{-1}(S)).
  • Agora aplique rank–nullity à transformação linear T|_{T^{-1}(S)}: a dimensão do domínio T^{-1}(S) é soma da dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem, isto é
\dim(T^{-1}(S))=\dim(\ker T)+\dim\bigl(S\cap\operatorname{Im}T\bigr).
Isso conclui a prova do lema.

Passo 5

Aplicação do lema ao caso concreto.
Escolha T=\tau e S=\ker\sigma. Como vimos no Passo 3, \ker(\sigma\tau)=\tau^{-1}(\ker\sigma). Pelo lema,
\dim\bigl(\ker(\sigma\tau)\bigr)=\dim\bigl(\tau^{-1}(\ker\sigma)\bigr)=\dim(\ker\tau)+\dim\bigl(\ker\sigma\cap\operatorname{Im}\tau\bigr).
Aqui cada termo significa:
  • \dim(\ker(\sigma\tau)) é \operatorname{null}(\sigma\tau).
  • \dim(\ker\tau) é \operatorname{null}(\tau).
  • \dim(\ker\sigma\cap\operatorname{Im}\tau) é a dimensão da interseção entre \ker\sigma e a imagem de \tau.

Passo 6

Conclusão final (argumento que leva à desigualdade).
A interseção \ker\sigma\cap\operatorname{Im}\tau é um subespaço de \ker\sigma. Para qualquer subespaço X de um espaço Y vale \dim X\le \dim Y. Aplicando isso obtemos
\dim\bigl(\ker\sigma\cap\operatorname{Im}\tau\bigr)\le \dim(\ker\sigma).
Substituindo essa desigualdade na igualdade do Passo 5 segue que
\dim\bigl(\ker(\sigma\tau)\bigr)\le \dim(\ker\tau)+\dim(\ker\sigma).
Em palavras: a nulidade de \sigma\tau é no máximo a soma das nulidades de \tau e de \sigma. (Não escrevo a desigualdade final isolada aqui porque a seção de resposta deve conter apenas a resposta final.)

Resposta

\operatorname{null}(\sigma\tau)\le \operatorname{null}(\tau)+\operatorname{null}(\sigma)

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