Seja S a superfície de equação paramétrica r(u, v)=(u^2+3 u^2 v, u^2+2 u v, u+v). Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0=r(-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície S definida por uma equação paramétrica r(u, v) = (u^2+3 u^2 v,, u^2+2 u v,, u+v). O objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto P0 = r(-1, 0) .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies paramétricas e planos tangentes. A ideia é calcular as derivadas parciais da função r em relação a u e v , que nos dão vetores tangentes à superfície. Com esses vetores, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial. Por fim, usando esse vetor normal e o ponto P0 , escrevemos a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as coordenadas do ponto P0 . Para isso, substituímos u = -1 e v = 0 na função paramétrica r(u, v):
r(-1, 0) = ((-1)^2 + 3 (-1)^2 cdot 0,, (-1)^2 + 2 (-1) cdot 0,, -1 + 0) = (1 + 0,, 1 + 0,, -1) = (1, 1, -1)
Então, o ponto P0 tem coordenadas (1, 1, -1) .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de r(u, v) em relação a u e v . Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções de u e v .
A derivada parcial em relação a u é:
ru(u, v) = (partialpartial u(u^2 + 3 u^2 v),, partialpartial u(u^2 + 2 u v),, partialpartial u(u + v)) = (2u + 6u v,, 2u + 2v,, 1)
A derivada parcial em relação a v é:
rv(u, v) = (partialpartial v(u^2 + 3 u^2 v),, partialpartial v(u^2 + 2 u v),, partialpartial v(u + v)) = (3u^2,, 2u,, 1)

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto (u, v) = (-1, 0) :
Para ru(-1, 0):
ru(-1, 0) = (2(-1) + 6(-1)(0),, 2(-1) + 2(0),, 1) = (-2 + 0,, -2 + 0,, 1) = (-2, -2, 1)
Para rv(-1, 0):
rv(-1, 0) = (3(-1)^2,, 2(-1),, 1) = (3, -2, 1)
Então, os vetores tangentes no ponto P0 são ru(-1, 0) = (-2, -2, 1) e rv(-1, 0) = (3, -2, 1) .

Passo 5

Com os vetores tangentes em mãos, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial desses vetores. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2,, a3 b1 - a1 b3,, a1 b2 - a2 b1 )
Vamos calcular ru times rv :
n = (-2, -2, 1) times (3, -2, 1) = ( (-2)(1) - (1)(-2),, (1)(3) - (-2)(1),, (-2)(-2) - (-2)(3) )
n = (-2 + 2,, 3 + 2,, 4 + 6) = (0, 5, 10)
Então, o vetor normal ao plano tangente é n = (0, 5, 10) .

Passo 6

Agora, usamos o vetor normal n = (0, 5, 10) e o ponto P0 = (1, 1, -1) para escrever a equação do plano. A equação geral de um plano é:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Substituindo os valores:
0 (x - 1) + 5 (y - 1) + 10 (z + 1) = 0
Simplificando:
0 + 5(y - 1) + 10(z + 1) = 0 5y - 5 + 10z + 10 = 0 5y + 10z + 5 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 5:
y + 2z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície S no ponto P0 = (1, 1, -1) é:
y + 2z + 1 = 0

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