Seja
a superfície de equação paramétrica
. Determine a equação do plano tangente a
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície
definida por uma equação paramétrica
. O objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto
.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies paramétricas e planos tangentes. A ideia é calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
, que nos dão vetores tangentes à superfície. Com esses vetores, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial. Por fim, usando esse vetor normal e o ponto
, escrevemos a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as coordenadas do ponto
. Para isso, substituímos
e
na função paramétrica
:
Então, o ponto
tem coordenadas
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções de
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Então, os vetores tangentes no ponto
são
e
.
Passo 5
Com os vetores tangentes em mãos, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial desses vetores. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular
:
Então, o vetor normal ao plano tangente é
.
Passo 6
Agora, usamos o vetor normal
e o ponto
para escrever a equação do plano. A equação geral de um plano é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 5:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: