Seja a superfície S parte da esfera x^2+y^2+z^2=4, interior ao cone z=raizx^2+y^23.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da esfera x²+y²+z²=4 que fica dentro do cone z=√((x²+y²)/3). O assunto é superfícies em coordenadas polares, e vamos precisar usar a relação da esfera para expressar z e impor a condição do cone ao domínio de r.

Passo 2

Parametrizamos a projeção de S no plano xy em coordenadas polares: definimos x = r cosθ e y = r sinθ. Como os pontos estão na esfera de raio 2, z satisfaz
z = raiz4 - r^2
Então uma parametrização candidata é dada por
r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;raiz4 - r^2r)

Passo 3

Agora precisamos determinar o intervalo de r impondo que o ponto está dentro do cone z = √((x²+y²)/3). Substituindo x e y e z na desigualdade
raiz4 - r^2 >= raizr^23 = rraiz3,
e elevando ao quadrado:
4 - r^2 >= r^23 Longrightarrow 4 >= 4r^23 Longrightarrow r^2 <= 3 Longrightarrow 0 <= r <= raiz3
O ângulo θ varia ao redor de toda a circunferência, ou seja, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Unindo tudo, temos a parametrização desejada.

Resposta

A parametrização de S em coordenadas polares é
r(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;raiz4-r^2r),
com 0 ≤ r ≤ √3 e 0 ≤ θ ≤ 2π.

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