Seja a superfície
parte da esfera
, interior ao cone
.
(b) Obtenha uma parametrização para
usando coordenadas polares.
(b) Obtenha uma parametrização para
Passo 1
O enunciado pede a parametrização da parte da esfera x²+y²+z²=4 que fica dentro do cone z=√((x²+y²)/3). O assunto é superfícies em coordenadas polares, e vamos precisar usar a relação da esfera para expressar z e impor a condição do cone ao domínio de r.
Passo 2
Parametrizamos a projeção de S no plano xy em coordenadas polares: definimos x = r cosθ e y = r sinθ. Como os pontos estão na esfera de raio 2, z satisfaz
Então uma parametrização candidata é dada por
Passo 3
Agora precisamos determinar o intervalo de r impondo que o ponto está dentro do cone z = √((x²+y²)/3). Substituindo x e y e z na desigualdade
e elevando ao quadrado:
O ângulo θ varia ao redor de toda a circunferência, ou seja, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Unindo tudo, temos a parametrização desejada.
Unindo tudo, temos a parametrização desejada.
Resposta
A parametrização de S em coordenadas polares é
com 0 ≤ r ≤ √3 e 0 ≤ θ ≤ 2π.