Suponha que uma transformação linear T: R^3 M2 times 2 satisfaz
T(3,2,-1)=[ll 7 & 0 0 & 0 ], T(1,1,0)=[ll 0 & 0 0 & 0 ] e T(-1,0,0)=[ll 0 & 3 3 & 0 ]
Obtenha a fórmula para T(a, b, c).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3to M2times2 e fornece os valores de T em três vetores:
T(3,2,-1)=7&00&0, T(1,1,0)=0&00&0, T(-1,0,0)=0&33&0
Para achar T(a,b,c) usamos que (3,2,-1),(1,1,0),(-1,0,0) é base de R^3 e expressamos (a,b,c) nessa base.

Passo 2

Escrevemos
(a,b,c)=alpha,(3,2,-1)+beta,(1,1,0)+gamma,(-1,0,0)
Isso gera o sistema
3alpha+beta-gamma=a, 2alpha+beta=b, -alpha=c
Da terceira equação vem alpha=-,c. Substituindo na segunda:
b=2(-c)+betaLongrightarrow beta=b+2c
Finalmente, na primeira:
3(-c)+(b+2c)-gamma=a Longrightarrow gamma=b-c-a

Passo 3

Pela linearidade,
T(a,b,c) =alpha,T(3,2,-1)+beta,T(1,1,0)+gamma,T(-1,0,0)
Substituindo alpha=-c, beta=b+2c e gamma=b-c-a, e lembrando que T(1,1,0)=0, obtemos
T(a,b,c) =-c7&00&0 +(b-c-a)0&33&0

Passo 4

Calculando a soma de matrizes:
-c7&00&0 =-7c&00&0,
(b-c-a)0&33&0 =0&3(b-c-a)3(b-c-a)&0
Somando,
T(a,b,c) =-7c&3(b-c-a)3(b-c-a)&0

Resposta

T(a,b,c) = -7c & 3l(b - c - ar)[6pt] 3l(b - c - ar) & 0 ]

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