Seja T \in L\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) definida por T(x, y)=(-x+3 y, 3 x-9 y, 2 x-6 y), classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações:
O vetor (1,-4) pertence ao núcleo de T

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y)=(-x+3y,\;3x-9y,\;2x-6y).
A pergunta é verificar se o vetor (1,-4) pertence ao núcleo de T, ou seja, se
(1,-4)\in\ker(T).
Lembrete: por definição, (1,-4)\in\ker(T) se, e somente se, T(1,-4)=(0,0,0).

Passo 2

Estratégia prática: para decidir se (1,-4)\in\ker(T) calcula-se T(1,-4) substituindo x=1 e y=-4 na fórmula de T. Se todas as três componentes resultarem em zero, então o vetor está no núcleo; caso contrário, não está.

Passo 3

Calcular a primeira componente de T(1,-4):
-x+3y \quad\text{com }x=1,\;y=-4
-1+3(-4) = -1-12 = -13.

Passo 4

Calcular a segunda componente de T(1,-4):
3x-9y \quad\text{com }x=1,\;y=-4
3\cdot 1 - 9\cdot(-4) = 3 + 36 = 39.

Passo 5

Calcular a terceira componente de T(1,-4):
2x-6y \quad\text{com }x=1,\;y=-4
2\cdot 1 - 6\cdot(-4) = 2 + 24 = 26.

Passo 6

Portanto
T(1,-4)=(-13,\;39,\;26).
Como T(1,-4)\neq(0,0,0), concluímos que (1,-4)\notin\ker(T). Assim a afirmação é falsa.
Para entender melhor a estrutura do núcleo (mini-aula rápida): escrevendo T(x,y)=x(-1,3,2)+y(3,-9,-6) nota-se que a segunda coluna é -3 vezes a primeira, então a imagem tem dimensão 1 e o núcleo tem dimensão 1. Resolver T(x,y)=(0,0,0) dá a equação
-x+3y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3y,
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\ker(T)=\{(3t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(3,1)\}.
O vetor (1,-4) não é múltiplo de (3,1) (pois 1\neq 3(-4)), confirmando que (1,-4) não pertence ao núcleo.

Resposta

Falso

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