Seja
definida por
, classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações:
O vetor
pertence ao núcleo de
O vetor
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
A pergunta é verificar se o vetor
pertence ao núcleo de
, ou seja, se
Lembrete: por definição,
se, e somente se,
.
Passo 2
Estratégia prática: para decidir se
calcula-se
substituindo
e
na fórmula de
. Se todas as três componentes resultarem em zero, então o vetor está no núcleo; caso contrário, não está.
Passo 3
Calcular a primeira componente de
:
Passo 4
Calcular a segunda componente de
:
Passo 5
Calcular a terceira componente de
:
Passo 6
Portanto
Como
, concluímos que
. Assim a afirmação é falsa.
Para entender melhor a estrutura do núcleo (mini-aula rápida): escrevendo
nota-se que a segunda coluna é
vezes a primeira, então a imagem tem dimensão
e o núcleo tem dimensão
. Resolver
dá a equação
logo
O vetor
não é múltiplo de
(pois
), confirmando que
não pertence ao núcleo.
Resposta
Falso