Verifique se o conjunto é LI ou LD no espaço indicado:

Passo 1

Estamos com o conjunto de quatro vetores em R^5 e queremos saber se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso vamos usar a definição: são LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos coeficientes nulos).

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero. Chamando os vetores de v1=(1,-2,-1,2,0), v2=(-1,1,1,3,1), v3=(1,-1,-1,-2,0) e v4=(0,3,0,3,0), queremos a v1 + b v2 + c v3 + d v4 = (0,0,0,0,0)Isso gera o sistema de cinco equações:
Das coordenadas obtemos
a - b + c = 0, -2a + b - c + 3d = 0, -a + b - c = 0, 2a + 3b - 2c + 3d = 0, b = 0A ideia é resolver passo a passo eliminando variáveis.

Passo 3

Da última equação vem b=0. Substituindo em a - b + c =0 c=-a, e em -a + b - c=0 vemos que ela fica redundante. Em -2a + b - c +3d=0 substituindo b=0 e c=-a obtemos -2a -(-a) +3d= -a +3d=0, ou seja a=3d. Por fim, na equação 2a +3b -2c +3d=0 com as substituições chegamos a 15d=0, logo d=0, e daí a=0, c=0.

Passo 4

Como a única solução é a=b=c=d=0, concluímos que não existe combinação não-trivial que dê o zero. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto X é linearmente independente.

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