Verifique se o conjunto é LI ou LD no espaço indicado:

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto X = {13, 1 + x – x³, x⁴ – 2x³ + 2} no espaço E = 𝒫₄(ℝ) é linearmente independente ou dependente. O conteúdo aqui é independência linear de polinômios; vamos montar uma combinação linear e igualar coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica:
acdot 13 + bcdot(1 + x - x^3) + ccdot(x^4 - 2x^3 + 2) = 0
Expandindo em potências de x, o polinômio fica:
c,x^4 + (-b - 2c),x^3 + b,x + (13a + b + 2c) = 0

Passo 3

Como o polinômio é identicamente nulo, cada coeficiente deve ser zero, gerando o sistema:
c = 0, -b - 2c = 0, b = 0, 13a + b + 2c = 0
Das duas primeiras equações vem c = 0 e, em seguida, b = 0. Substituindo em 13a + b + 2c = 0 dá a = 0.

Passo 4

O resultado é que a única solução é a = b = c = 0, ou seja, a trivial.

Resposta

O conjunto X é linearmente independente em 𝒫₄(ℝ).

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