Verifique se o conjunto
é LI ou LD no espaço
indicado:
Passo 1
O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto X = {13, 1 + x – x³, x⁴ – 2x³ + 2} no espaço E = 𝒫₄(ℝ) é linearmente independente ou dependente. O conteúdo aqui é independência linear de polinômios; vamos montar uma combinação linear e igualar coeficientes.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica:
Expandindo em potências de x, o polinômio fica:
Passo 3
Como o polinômio é identicamente nulo, cada coeficiente deve ser zero, gerando o sistema:
Das duas primeiras equações vem c = 0 e, em seguida, b = 0. Substituindo em 13a + b + 2c = 0 dá a = 0.
Passo 4
O resultado é que a única solução é a = b = c = 0, ou seja, a trivial.
Resposta
O conjunto X é linearmente independente em 𝒫₄(ℝ).