Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y) .
(a) Encontre a matriz de T na base canônica.
(b) Calcule T(1,1,1) usando a matriz.
(c) Determine \operatorname{ker}(T) e \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(y+z,\;x+z,\;x+y),
e pede: (a) a matriz de T na base canônica, (b) o cálculo de T(1,1,1) usando essa matriz, e (c) determinar \ker(T) e \Im(T). Para resolver vamos usar a ideia de que a matriz em base canônica tem colunas T(e_i), depois resolver sistemas lineares homogêneos para o núcleo e analisar o espaço gerado pelas colunas para a imagem.

Passo 2

Calculamos as colunas da matriz A como T(e_1), T(e_2) e T(e_3), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
T(e_1)=T(1,0,0)=(0+0,\;1+0,\;1+0)=(0,1,1),
T(e_2)=T(0,1,0)=(1+0,\;0+0,\;0+1)=(1,0,1),
T(e_3)=T(0,0,1)=(0+1,\;0+1,\;0+0)=(1,1,0).
Logo a matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular T(1,1,1) usamos A e o vetor coluna (1,1,1)^T:
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1\\\\ 1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1\\\\ 1\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \ker(T)\) resolvemos \(T(x,y,z)=(0,0,0)\), isto é o sistema \[\begin{cases} y+z=0,\\\ x+z=0,\\\ x+y=0. \end{cases}
Da primeira equação y=-z\] e da segunda \(x=-z. Substituindo na terceira: -z + (-z)=0 z=0. Então x=y=z=0. Assim
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.

Passo 5

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Como \det(A)=2\neq0, as colunas são linearmente independentes e geram todo \mathbb{R}^3. Logo
\Im(T)=\mathbb{R}^3.

Resposta

(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
(b) T(1,1,1)=(2,2,2).
(c) \ker(T)=\{(0,0,0)\} e \Im(T)=\mathbb{R}^3.

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