Seja V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e T: V \rightarrow V definido por
T(p(x))=x \cdot p(x) .
(a) Mostre que T é linear.
(b) Escreva a matriz de T em relação à base \left\{1, x, x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \displaystyle V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau <=2) e o operador
T\colon V\to V,\qquad T\bigl(p(x)\bigr)=x\,p(x).
Pede em (a) mostrar que T é linear e em (b) escrever a matriz de T na base \{1,x,x^2\}.

Passo 2

Para verificar que T é linear, tomemos p(x),q(x)\in V e \alpha\in\mathbb{R}. Então
T\bigl(p(x)+q(x)\bigr) = x\bigl(p(x)+q(x)\bigr) = x\,p(x)+x\,q(x) = T\bigl(p(x)\bigr)+T\bigl(q(x)\bigr),
e
T\bigl(\alpha\,p(x)\bigr) = x\bigl(\alpha\,p(x)\bigr) = \alpha\bigl(x\,p(x)\bigr) = \alpha\,T\bigl(p(x)\bigr).
Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade valem, T é de fato linear.

Passo 3

Para montar a matriz de T na base \{1,x,x^2\}, calculamos T nos vetores da base e expressamos cada resultado nessa mesma base:
  1. T(1)=x.
    Em coordenadas na base \{1,x,x^2\}, isso é
x = 0\cdot1 + 1\cdot x + 0\cdot x^2 \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. T(x)=x^2.
    Em coordenadas,
x^2 = 0\cdot1 + 0\cdot x + 1\cdot x^2 \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
  1. T(x^2)=x^3.
    Mas x^3\notin V=\mathcal{P}_2, ou seja, não pode ser expresso como combinação dos vetores da base.
    Isso mostra que T como está não envia toda \mathcal{P}_2 em si própria.
    Se, por hipótese didática, projetássemos esse x^3 em zero (como se truncássemos graus maiores), teríamos a coluna
    \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto, caso admitamos a descrição matricial em \mathcal{P}_2 ignorando o termo x^3, as colunas são as coordenadas acima.

Resposta

A matriz de T na base \{1,x,x^2\}, com o entendimento de truncar o x^3 a zero, é
[T]_{\{1,x,x^2\}} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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