Sejam T, S: V \rightarrow V operadores lineares tais que T \circ S=S \circ T. Mostre que se v é autovetor de T associado ao autovalor \alpha e S(v) \neq 0 então S(v) é autovetor de T associado a \alpha.

Passo 1

O enunciado dá operadores lineares T e S\colon V\to V que comutam, isto é,
T\circ S = S\circ T.
Sabe-se que v é autovetor de T associado ao autovalor \alpha e que S(v)\neq0. Precisamos mostrar que S(v) também é autovetor de T para o mesmo \alpha.

Passo 2

Como T e S comutam, aplicando as composições em v obtemos
T\bigl(S(v)\bigr) = (T\circ S)(v) = (S\circ T)(v) = S\bigl(T(v)\bigr).

Passo 3

Pelo fato de v ser autovetor de T associado a \alpha, temos T(v)=\alpha v. Substituindo na igualdade anterior, resulta
T\bigl(S(v)\bigr) = S\bigl(\alpha v\bigr) = \alpha\,S(v).

Passo 4

A relação T(S(v)) = \alpha\,S(v) é justamente a condição de que S(v) seja autovetor de T com autovalor \alpha. Como por hipótese S(v)\neq0, concluímos que S(v) é um autovetor válido de T.

Resposta

Portanto, S(v) é autovetor de T associado ao autovalor \alpha.

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