Sejam
operadores lineares tais que
. Mostre que se v é autovetor de T associado ao autovalor
e
então
é autovetor de
associado a
.
Passo 1
O enunciado dá operadores lineares
e
que comutam, isto é,
Sabe-se que
é autovetor de
associado ao autovalor
e que
. Precisamos mostrar que
também é autovetor de
para o mesmo
.
Passo 2
Como
e
comutam, aplicando as composições em
obtemos
Passo 3
Pelo fato de
ser autovetor de
associado a
, temos
. Substituindo na igualdade anterior, resulta
Passo 4
A relação
é justamente a condição de que
seja autovetor de
com autovalor
. Como por hipótese
, concluímos que
é um autovetor válido de
.
Resposta
Portanto,
é autovetor de
associado ao autovalor
.