Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear definida por T(x, y, z)=(y+z, 2 y+z, y+2 z).
a) Calcule o polinômio característico de T.
b) Calcule os autovalores e os subespaços próprios de T .
c) Determine uma base de \mathbb{R}^{3} constituída por autovetores de T. Qual é a representação matricial de T nesta base?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T(x,y,z) = (\,y+z,\;2y+z,\;y+2z\,)
em \mathbb{R}^3. Vamos primeiro escrevê-la como matriz em relação à base canônica, depois calcular o polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores e, por fim, montar uma base de autovetores e a matriz de T nessa base.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, aplicamos T a cada vetor:
T(e_1)=T(1,0,0)=(0,0,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(1,2,1),
T(e_3)=T(0,0,1)=(1,1,2).
Logo a matriz é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico p(\lambda)=\det(\lambda I - A) vem de
\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 & -1\\\\ 0 & \lambda-2 & -1\\\\ 0 & -1 & \lambda-2 \end{pmatrix}
e seu determinante é
\det(\lambda I - A) = \lambda\,\det\begin{pmatrix}\lambda-2 & -1\\\ -1 & \lambda-2\end{pmatrix} = \lambda\bigl((\lambda-2)^2 - 1\bigr) = \lambda(\lambda^2 -4\lambda +3) = \lambda(\lambda-1)(\lambda-3).

Passo 4

Os autovalores são as raízes de p(\lambda), ou seja
\lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 3.

Passo 5

Para cada \lambda resolvemos (A - \lambda I)v=0:
a) \lambda=0:
(A-0\cdot I)v=Av=0 dá o sistema
y+z=0,\quad 2y+z=0,\quad y+2z=0
que implica y=z=0 e x livre. Assim
E_0 = \ker A = \{(x,0,0)\} = \span\{(1,0,0)\}.
b) \lambda=1:
(A-I)v=0
- x + y + z = 0,\quad y+z=0,\quad y+z=0
logo y+z=0 e x=0. Assim
E_1 = \{(0,y,-y)\} = \span\{(0,1,-1)\}.
c) \lambda=3:
(A-3I)v=0
-3x + y + z = 0,\quad -y + z = 0,\quad y - z = 0
logo z=y e 2y=3x, ou seja y=\tfrac32x. Assim
E_3 = \{(x,\tfrac32x,\tfrac32x)\} = \span\{(2,3,3)\}.

Passo 6

Os vetores (1,0,0), (0,1,-1) e (2,3,3) são autovetores correspondentes a 0, 1 e 3 e são linearmente independentes, formando uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 7

Na base de autovetores \{v_1,v_2,v_3\} = \{(1,0,0),(0,1,-1),(2,3,3)\}, a representação de T é diagonal com entradas os autovalores, ou seja
[T]_{\{v_i\}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

a) p(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-3).
b) Os autovalores são 0,1,3 com subespaços próprios
E_0=\span\{(1,0,0)\},\quad E_1=\span\{(0,1,-1)\},\quad E_3=\span\{(2,3,3)\}.
c) Uma base de autovetores é \{(1,0,0),(0,1,-1),(2,3,3)\} e a matriz de T nessa base é
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

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