Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
X=(-1,1),(2,0),(1,0),(0,1), E=R^2;

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se o conjunto X gera E= R^2. O conteúdo envolve geração de espaços vetoriais e combinação linear. Vamos precisar saber o que significa gerar um espaço e como testar se um conjunto gera R^2.

Passo 2

Para gerar R^2, basta existir em X um subconjunto de dois vetores linearmente independentes que formem base de R^2. Se encontrarmos esses vetores em X, então span(X)=R^2.

Passo 3

Os vetores em X são (-1,1), (2,0), (1,0) e (0,1). Note que (2,0) e (0,1) são linearmente independentes, pois não há escalar c tal que (2,0)=c(0,1). Esses dois vetores formam uma base de R^2.

Passo 4

Como (2,0) e (0,1) pertencem a X e já geram R^2, qualquer vetor em R^2 se escreve como combinação linear deles. Logo, span(X)=R^2.

Resposta

Sim. X gera R^2, pois contém a base (2,0),(0,1).

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