Sejam A e B duas matrizes n times n. Se e v in R^n é um autovetor de A e de B ao mesmo tempo, então encontre um autovetor para:
a) A+B.
b) A B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre autovetores de matrizes. Temos duas matrizes quadradas A e B do tamanho n times n , e um vetor v que é autovetor tanto de A quanto de B . Nosso objetivo é encontrar autovetores para as combinações A + B e A cdot B . Para isso, vamos lembrar o que é um autovetor e como ele se comporta quando combinamos matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um autovetor. Um vetor v é um autovetor de uma matriz M se, ao multiplicarmos M por v , o resultado for um múltiplo de v . Isso pode ser escrito assim:
M v = lambda v
onde lambda é o autovalor correspondente.

Passo 3

Sabemos que v é autovetor de A e de B , então podemos escrever:
A v = lambdaA v
B v = lambdaB v
Aqui, lambdaA e lambdaB são os autovalores de A e B respectivamente, associados ao autovetor v .

Passo 4

Vamos resolver a parte a), que pede para encontrar um autovetor para A + B .
Primeiro, somamos as duas equações:
A v + B v = lambdaA v + lambdaB v
Fatorando v do lado direito:
(A + B) v = (lambdaA + lambdaB) v
Isso mostra que v também é um autovetor de A + B , com o autovalor sendo a soma dos autovalores de A e B .

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), que pede para encontrar um autovetor para A cdot B .
Primeiro, aplicamos B em v :
B v = lambdaB v
Agora, aplicamos A no resultado:
A (B v) = A (lambdaB v) = lambdaB (A v) = lambdaB (lambdaA v) = (lambdaA lambdaB) v
Então, temos:
A cdot B cdot v = (lambdaA lambdaB) v
Isso mostra que v também é um autovetor de A cdot B , com o autovalor sendo o produto dos autovalores de A e B .

Resposta

a) Um autovetor para A + B é v .
b) Um autovetor para A cdot B é v .

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