Sejam
e
duas matrizes
. Se e
é um autovetor de
e de
ao mesmo tempo, então encontre um autovetor para:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre autovetores de matrizes. Temos duas matrizes quadradas
e
do tamanho
, e um vetor
que é autovetor tanto de
quanto de
. Nosso objetivo é encontrar autovetores para as combinações
e
. Para isso, vamos lembrar o que é um autovetor e como ele se comporta quando combinamos matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um autovetor. Um vetor
é um autovetor de uma matriz
se, ao multiplicarmos
por
, o resultado for um múltiplo de
. Isso pode ser escrito assim:
onde
é o autovalor correspondente.
Passo 3
Sabemos que
é autovetor de
e de
, então podemos escrever:
Aqui,
e
são os autovalores de
e
respectivamente, associados ao autovetor
.
Passo 4
Vamos resolver a parte a), que pede para encontrar um autovetor para
.
Primeiro, somamos as duas equações:
Fatorando
do lado direito:
Isso mostra que
também é um autovetor de
, com o autovalor sendo a soma dos autovalores de
e
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), que pede para encontrar um autovetor para
.
Primeiro, aplicamos
em
:
Agora, aplicamos
no resultado:
Então, temos:
Isso mostra que
também é um autovetor de
, com o autovalor sendo o produto dos autovalores de
e
.
Resposta
a) Um autovetor para
é
.
b) Um autovetor para
é
.