Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T in L(V). Suponha que PT= mT=p^m é uma potência de um polinômio irredutível. Prove que nenhum subespaço não trivial T-invariante de V tem um complementar que também é T-invariante.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial de dimensão finita V sobre K e um operador linear T∈ℒ(V) tal que o polinômio característico P_T e o polinômio mínimo m_T coincidem e valem p^m, onde p∈K[x] é irreduzível. Vamos usar teoria de restrição de polinômios mínimo e característico a subespaços invariantes para chegar a um absurdo.

Passo 2

Suponha, para fins de contradição, que exista W⊂V não trivial (nem {0}, nem V) que seja T-invariante e que possua um complemento U também T-invariante, de modo que V=W⊕U.

Passo 3

Sabemos que o polinômio característico de T se fatoriza conforme a soma direta de subespaços invariantes:
PT(x)=PT|W(x),PT|U(x)
Como P_T(x)=p(x)^m e p é irreduzível, cada fator é uma potência de p, digamos P_{T|W}(x)=p(x)^k e P{T|_U}(x)=p(x)^{m-k} com 0<k<m.

Passo 4

Também o polinômio mínimo de T é o mmc dos mínimos em W e em U:
mT(x)=lcml(mT|W(x),mT|U(x)r)
Como tudo é potências de p, escrevemos m_{T|W}(x)=p(x)^a e m{T|_U}(x)=p(x)^b. Então
p(x)^m=mT(x)=p(x)^max(a,b)
implica max(a,b)=m. Como tanto W quanto U são não triviais, temos a≥1 e b≥1, logo um dos expoentes, digamos b, satisfaz b=m.

Passo 5

Mas a definição de polinômio mínimo assegura que deg mT|U=b,deg p=m,deg p é menor ou igual a dim U. Assim
dim U>= m,deg p
Por outro lado, dim V=m,deg p (pois P_T é de grau m·deg p) e U⊆V, então
dim U<=dim V=m,deg p
Concluímos que dim U=dim V, ou seja U=V, o que contradiz W≠{0}.

Passo 6

Chegamos ao absurdo de U=V quando supomos que existia W não trivial com complementar U T-invariante. Logo, nenhum subespaço não trivial T-invariante de V tem complementar também T-invariante.

Resposta

Não existe subespaço não trivial T-invariante em V que tenha complementar T-invariante.

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