Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão finita e
. Suponha que
é uma potência de um polinômio irredutível. Prove que nenhum subespaço não trivial
-invariante de
tem um complementar que também é
-invariante.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial de dimensão finita V sobre K e um operador linear T∈ℒ(V) tal que o polinômio característico P_T e o polinômio mínimo m_T coincidem e valem p^m, onde p∈K[x] é irreduzível. Vamos usar teoria de restrição de polinômios mínimo e característico a subespaços invariantes para chegar a um absurdo.
Passo 2
Suponha, para fins de contradição, que exista W⊂V não trivial (nem {0}, nem V) que seja T-invariante e que possua um complemento U também T-invariante, de modo que V=W⊕U.
Passo 3
Sabemos que o polinômio característico de T se fatoriza conforme a soma direta de subespaços invariantes:
Como P_T(x)=p(x)^m e p é irreduzível, cada fator é uma potência de p, digamos P_{T|W}(x)=p(x)^k e P{T|_U}(x)=p(x)^{m-k} com 0<k<m.
Passo 4
Também o polinômio mínimo de T é o mmc dos mínimos em W e em U:
Como tudo é potências de p, escrevemos m_{T|W}(x)=p(x)^a e m{T|_U}(x)=p(x)^b. Então
implica max(a,b)=m. Como tanto W quanto U são não triviais, temos a≥1 e b≥1, logo um dos expoentes, digamos b, satisfaz b=m.
Passo 5
Mas a definição de polinômio mínimo assegura que
é menor ou igual a
. Assim
Por outro lado,
Concluímos que
, ou seja U=V, o que contradiz W≠{0}.
Passo 6
Chegamos ao absurdo de U=V quando supomos que existia W não trivial com complementar U T-invariante. Logo, nenhum subespaço não trivial T-invariante de V tem complementar também T-invariante.
Resposta
Não existe subespaço não trivial T-invariante em V que tenha complementar T-invariante.