Seja T: R^3 R^3 a aplicação linear dada por
T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z)
Determine uma base e a dimensão para o núcleo e para a imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x+2y - z,;y+z,;x+y-2z,)
O que precisamos é encontrar uma base e a dimensão do núcleo ( ker(T)) e da imagem ( Im(T)). Para isso vamos representar T pela matriz na base canônica, calcular o posto (rank) para a imagem e resolver o sistema homogêneo para o núcleo.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2
Fazendo operações de linha para escalonar:
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2 ;xrightarrowL3to L3 - L1; 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1 ;xrightarrowL3to L3 + L2; 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
Há dois pivôs, logo rank(A)=2. Assim
dim!l(Im(T)r)=2, dim!l(ker(T)r)=3-2=1

Passo 3

Para o núcleo, resolvemos
Da segunda equação , então . A terceira é redundante e confirma . Logo o vetor genérico do núcleo é
portanto

Passo 4

Para a imagem, podemos tomar as colunas de A correspondentes aos pivôs (coluna 1 e coluna 2):
c1 = (1,0,1), c2=(2,1,1)
Verifica-se que a coluna 3 é combinação linear dessas duas, então
Im(T)=span(1,0,1),,(2,1,1), dim!l(Im(T)r)=2

Resposta

Núcleo: ker(T)=span(-3,1,-1), dimensão 1.
Imagem: Im(T)=span(1,0,1),,(2,1,1), dimensão 2.

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