Seja T: R^2 R^2 o operador linear dado por
T(x, y)=(-3 x+4 y,-x+2 y)
c) (1,5 pontos) Determine os autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(-3x+4y,,-x+2y)
e pede os autovetores de T. Para isso, vamos primeiro achar os valores próprios lambda resolvendo det(A-lambda I)=0, onde
A=-3&4-1&2
é a matriz de T. Em seguida, para cada lambda não-nulo, encontraremos os vetores vneq0 tais que T(v)=lambda v.

Passo 2

Montamos
A - lambda I = -3-lambda & 4 [6pt] -1 & 2-lambda
e calculamos o determinante:
det(A-lambda I) =(-3-lambda)(2-lambda) - (4)(-1) =lambda^2+lambda-2 ]

Passo 3

Resolvendo a equação característica
lambda^2+lambda-2=0
temos
lambda1=1 e lambda2=-2

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja
Logo os autovetores correspondentes a são todos os múltiplos de

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
Logo os autovetores correspondentes a são todos os múltiplos de

Resposta

Os autovetores de T são:
para lambda=1:;t,(1,1), tneq0, e para lambda=-2:;s,(4,1), sneq0

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