Sejam T in L(R^2, R^3) e G in L(R^3, R^2) assim definidas:
T(x, y)=(0, x, x-y) e G(x, y, z)=(x-y, x+2 y+3 z)
Determine T circ G circ T.

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
TcolonR^2toR^3 por T(x,y)=(0,x,x-y)
e
GcolonR^3toR^2 por G(x,y,z)=(x-y,;x+2y+3z).
Queremos a composição Tcirc Gcirc T, ou seja, para (x,y)inR^2 calcular
Tl(Gl(T(x,y)r)r)

Passo 2

Calcular primeiro T(x,y). Por definição,
T(x,y) = (0,;x,;x-y)

Passo 3

Agora aplicamos G ao vetor (0,x,x-y). Como
G(x,y,z) = (x-y,;x+2y+3z),
então, substituindo (x,y,z)=(0,x,x-y), temos
Gl(0,x,x-yr) = l(0 - x,;0 + 2x + 3(x - y)r) = l(-x,;5x - 3yr)

Passo 4

Finalmente aplicamos T ao vetor l(-x,,5x-3yr). Usando
T(u,v) = (0,;u,;u-v),
com u=-x e v=5x-3y, obtemos
Tl(-x,,5x-3yr) = l(0,,-x,,-x - (5x-3y)r) = l(0,,-x,,-6x + 3yr)

Resposta

(Tcirc Gcirc T)(x,y) = l(0,,-x,,-6x + 3yr)

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