Seja T: R^3 R^3 um operador linear dado por T(x, y, z)=(x+2 y+z, 3 y+z,-z).
Determine, caso existam, os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de TcolonR^3toR^3 definidos por
T(x,y,z) = (x + 2y + z,;3y + z,;-z)
Conteúdo: autovalores e polinômio característico. Vamos representar T por uma matriz A na base canônica e resolver det(A - lambda I)=0.

Passo 2

A matriz de na base é triangular superior, pois
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Passo 3

Para achar o polinômio característico, montamos
det(A - lambda I) =det 1-lambda & 2 & 1 0 & 3-lambda & 1 0 & 0 & -1-lambda
Como é matriz triangular, esse determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A - lambda I) =(1-lambda),(3-lambda),(-1-lambda)

Passo 4

Basta então resolver
(1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda)=0
As raízes são
lambda = 1, lambda = 3, lambda = -1

Resposta

Os autovalores de T são
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = -1

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