Sejam b, c in R. Dada a transformação T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(2 x-4 y+3 z+b, 6 x+c x y z), mostre que T é linear se, e somente se b=c=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
T:R^3toR^2 dada por
T(x,y,z) = l(2x-4y+3z+b,;6x + c,x,y,zr)
\u00e9 transforma\u00e7\u00e3o linear se, e somente se, b=0 e c=0.
Conte\u00fado: defini\u00e7\u00e3o de transforma\u00e7\u00e3o linear (adi\u00adtividade e homogeneidade) e consequ\u00eancia de T(0)=0.

Passo 2

Se T é linear, então obrigatoriamente T(0,0,0)=(0,0). Mas
T(0,0,0) =l(2cdot0-4cdot0+3cdot0+b,;6cdot0 + ccdot0cdot0cdot0r) =(b,0)
Para isso ser (0,0), precisamos de
b=0

Passo 3

Ainda sob a hipótese de linearidade, vale homogeneidade:
T(lambda x,lambda y,lambda z) =lambda,T(x,y,z) forall lambdainR,;(x,y,z)inR^3
Compare a segunda componente em cada lado:
esquerda: 6(lambda x)+c,( lambda x)(lambda y)(lambda z)=6lambda x + c,lambda^3,x,y,z.
direita: lambdal(6x + c,x,y,zr)=6lambda x + c,lambda,x,y,z.
Para esses dois coincidirem para todo lambda,x,y,z deve ocorrer
c,lambda^3,x,y,z ;=; c,lambda,x,y,z Longrightarrow c,(lambda^3-lambda),x,y,z=0
Como podemos escolher lambdaneq0,pm1 e x,y,zneq0, só resta
c=0

Passo 4

Recíproco: se b=0 e c=0, então
T(x,y,z) = (2x-4y+3z,;6x)
é claramente da forma T(v)=A,v com
A=2&-4&36&0&0,
logo satisfaz aditividade e homogeneidade, isto é, é linear.

Resposta

T é linear se, e somente se,
b=0 e c=0

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