Sejam
. Dada a transformação
, mostre que
é linear se, e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
dada por
\u00e9 transforma\u00e7\u00e3o linear se, e somente se,
e
.
Conte\u00fado: defini\u00e7\u00e3o de transforma\u00e7\u00e3o linear (adi\u00adtividade e homogeneidade) e consequ\u00eancia de .
Conte\u00fado: defini\u00e7\u00e3o de transforma\u00e7\u00e3o linear (adi\u00adtividade e homogeneidade) e consequ\u00eancia de
Passo 2
Se
é linear, então obrigatoriamente
. Mas
Para isso ser
, precisamos de
Passo 3
Ainda sob a hipótese de linearidade, vale homogeneidade:
Compare a segunda componente em cada lado:
esquerda: .
direita: .
Para esses dois coincidirem para todo deve ocorrer
esquerda:
direita:
Para esses dois coincidirem para todo
Como podemos escolher
e
, só resta
Passo 4
Recíproco: se
e
, então
é claramente da forma
com
logo satisfaz aditividade e homogeneidade, isto é, é linear.