Seja T: R^{2} \rightarrow R^{2} uma transformação linear. Sabe-se que T(1,0)=(2,-1) e T(0,1)=(3,4). Encontre a fórmula geral para T(x, y).

Passo 1

O enunciado diz que T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e conhecemos as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0) = (2,-1), \quad T(0,1) = (3,4).
O que queremos é expressar T(x,y) para um vetor arbitrário (x,y). Para isso vamos usar o fato de que toda transformação linear é determinada pelas suas imagens na base canônica.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade de T, temos
T(x,y) = T\bigl(x\,(1,0) + y\,(0,1)\bigr) = x\,T(1,0) \;+\; y\,T(0,1).

Passo 3

Substituindo os valores dados de T(1,0) e T(0,1), obtemos
T(x,y) = x\,(2,-1) \;+\; y\,(3,4).

Passo 4

Agora basta somar componente a componente:
x\,(2,-1) + y\,(3,4) = (2x, -x) + (3y, 4y) = (2x + 3y,\;-x + 4y).

Resposta

T(x,y) = \bigl(2x + 3y,\,-x + 4y\bigr).

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