Sejam A e B matrizes simétricas de mesmo tamanho e alpha um escalar qualquer. Mostre que
A^T é simétrica.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz simétrica, ou seja,
A^T = A
Queremos mostrar que a própria matriz A^T também é simétrica. Lembrando que, em geral, uma matriz M é simétrica se
M^T = M

Passo 2

Usamos a propriedade básica da transposta de uma transposta, que vale para qualquer matriz:
l(A^Tr)^T = A

Passo 3

Para concluir, basta verificar que
l(A^Tr)^T = A e, como (A = A^T), temos l(A^Tr)^T = A^T
Isso mostra exatamente que A^T satisfaz l(A^Tr)^T = A^T, logo A^T é simétrica.

Resposta

A transposta A^T de uma matriz simétrica A é também simétrica.

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