Seja
uma transformação linear dada por
Encontre uma base para
e a dimensão de
. Conclua se
é ou não sobrejetora.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Precisamos encontrar uma base de
, calcular
e decidir se
é sobrejetora. Para isso usaremos (
) a definição de núcleo, resolvendo
, e (
) o teorema do posto-nulidade:
Passo 2
Para achar
Das duas equações envolvendo e da segunda vem
. Logo
Uma base de
é
.
Passo 3
Pelo teorema do posto-nulidade,
Passo 4
Uma transformação linear de
em
é sobrejetora se e somente se
. Aqui obtivemos
, logo
não é sobrejetora.
Resposta
Base de
:
.
.
não é sobrejetora.