Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(z, x-y,-z)
Encontre uma base para Ker(T) e a dimensão de Im(T). Conclua se T é ou não sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(z,;x-y,;-z)
Precisamos encontrar uma base de ker(T), calcular dim(Im(T)) e decidir se T é sobrejetora. Para isso usaremos ( 1) a definição de núcleo, resolvendo T(x,y,z)=(0,0,0), e ( 2) o teorema do posto-nulidade:
dim(ker T)+dim(ImT)=3

Passo 2

Para achar
Das duas equações envolvendo e da segunda vem . Logo
Uma base de é .

Passo 3

Pelo teorema do posto-nulidade,
dim(ImT) =3-dim(ker T) =3-1 =2

Passo 4

Uma transformação linear de R^3 em R^3 é sobrejetora se e somente se dim(ImT)=3. Aqui obtivemos dim(ImT)=2<3, logo T não é sobrejetora.

Resposta

Base de ker(T): (1,1,0).
dim(Im(T))=2.
T não é sobrejetora.

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