Verifique se a transformação , onde é autoadjunto.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação linear
é autoadjunta no produto interno canônico de . Vamos, portanto, representar por sua matriz em relação à base padrão e checar se essa matriz é simétrica (condição de autoadjuntude).
Passo 2
Para a base canônica , vemos que
Logo, a matriz de é
]
Passo 3
Uma aplicação linear é autoadjunta se, e somente se, sua matriz satisfaz
ou seja, é simétrica.
Passo 4
O transposto de é
Para termos precisamos que os elementos fora da diagonal satisfaçam
]
Passo 5
A condição implica
Nesses casos,
que é de fato simétrica. Para qualquer outro theta, sinthetaneq0 e Aneq A^T.
Resposta
Rtheta é autoadjunta se, e somente se, theta = kpi com kinZ. Caso contrário, não é autoadjunta.