Verifique se a transformação Rtheta: R^2 R^2, onde Rtheta(x, y)=(x cos (theta)-y sen(theta), y cos (theta)+x sen(theta)) é autoadjunto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação linear
RthetacolonR^2toR^2, Rtheta(x,y) = l(xcos(theta)-ysin(theta),;xsin(theta)+ycos(theta)r)
é autoadjunta no produto interno canônico de R^2. Vamos, portanto, representar Rtheta por sua matriz em relação à base padrão e checar se essa matriz é simétrica (condição de autoadjuntude).

Passo 2

Para a base canônica e1,e2, vemos que
Rtheta(1,0) = (costheta,;sintheta), Rtheta(0,1) = (-sintheta,;costheta)
Logo, a matriz de Rtheta é
A = costheta & -sintheta [6pt] sintheta & costheta
]

Passo 3

Uma aplicação linear é autoadjunta se, e somente se, sua matriz A satisfaz
A = A^T,
ou seja, é simétrica.

Passo 4

O transposto de A é
A^T = costheta & sintheta [3pt] -sintheta & costheta
Para termos A = A^T precisamos que os elementos fora da diagonal satisfaçam
-sintheta = sintheta Longrightarrow sintheta = 0
]

Passo 5

A condição sintheta = 0 implica
theta = kpi, kinZ
Nesses casos,
A = pm1 & 0 0 & pm1 ,
que é de fato simétrica. Para qualquer outro theta, sinthetaneq0 e Aneq A^T.

Resposta

Rtheta é autoadjunta se, e somente se, theta = kpi com kinZ. Caso contrário, não é autoadjunta.

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