Sejam R, S e T três transformações lineares de R^3 em R^3. Se [R]C a n=[ccc1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1] e [S]C a n= [ccc-2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0], ache T tal que R=S circ T.

Passo 1

O enunciado dá três transformações lineares R,S,T: R^3to R^3 e diz que
R = Scirc T,
além de fornecer as matrizes em base canônica
[R]Can = 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 , [S]Can = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0
Como a matriz de composição satisfaz [R] = [S],[T], basta inverter [S] e calcular
[T]Can = [S]Can^-1,[R]Can

Passo 2

Calcular det([S]Can) por expansão na primeira linha:
det(S) = (-2)det!1&2-2&0 - 1det!3&21&0 +(-1)det!3&11&-2 = -2,(0-(-4)) -1,(0-2) -1,(-6-1) = -8 +2 +7 =1

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores de S. Para cada entrada (i,j) calculamos
Cij = (-1)^i+jdetl(S sem linha i e coluna jr),
o que leva a
Cof(S) = 4 & 2 & -7 2 & 1 & -3 3 & 1 & -5

Passo 4

Como det S=1, o inverso é simplesmente a adjunta (transpose da matriz de cofatores):
[S]Can^-1 =adj(S) =l(Cof(S)r)^T = 4 & 2 & 3 2 & 1 & 1 -7 & -3 & -5

Passo 5

Finalmente multiplicamos [S]^-1 por [R]:
[T]Can =[S]Can^-1,[R]Can = 4 & 2 & 3 2 & 1 & 1 -7 & -3 & -5 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 = 8 & -1 & 9 4 & 0 & 4 -13 & 2 & -15

Resposta

[T]Can = 8 & -1 & 9 4 & 0 & 4 -13 & 2 & -15

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