Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
T: M2 times 2 R^4 tal que T((ai j)i, j: 1^2)=(a11, a12, a21, a22)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado:
Temos uma função T: M2 times 2 R^4 definida por
T((aij)i,j=1^2) = (a11, a12, a21, a22)
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de transformação linear. Precisamos verificar se T satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer matrizes u e v em M2 times 2 .
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u) para qualquer matriz u em M2 times 2 e qualquer escalar c .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a aditividade.
Sejam duas matrizes quaisquer A = (aij) e B = (bij) em M2 times 2 .
A soma dessas matrizes é:
A + B = (aij + bij)
Aplicando T na soma:
T(A + B) = ((a11 + b11), (a12 + b12), (a21 + b21), (a22 + b22))
Agora, aplicando T individualmente:
T(A) = (a11, a12, a21, a22)
T(B) = (b11, b12, b21, b22)
Somando T(A) + T(B) :
T(A) + T(B) = (a11 + b11, a12 + b12, a21 + b21, a22 + b22)
Observamos que:
T(A + B) = T(A) + T(B)
Portanto, a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade.
Seja c um escalar e A = (aij) uma matriz em M2 times 2 .
Multiplicando a matriz por c :
cA = (caij)
Aplicando T na matriz cA :
T(cA) = (ca11, ca12, ca21, ca22) = c (a11, a12, a21, a22) = c T(A)
Portanto:
T(cA) = c T(A)
Assim, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a função T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que T é uma transformação linear.

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