Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
tal que
Passo 1
Vamos analisar o enunciado:
Temos uma função
definida por
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de transformação linear. Precisamos verificar se
satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares:
- Aditividade:
para quaisquer matrizes e em . - Homogeneidade:
para qualquer matriz em e qualquer escalar .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade.
Sejam duas matrizes quaisquer
e
em
.
A soma dessas matrizes é:
Aplicando
na soma:
Agora, aplicando
individualmente:
Somando
:
Observamos que:
Portanto, a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade.
Seja
um escalar e
uma matriz em
.
Multiplicando a matriz por
:
Aplicando
na matriz
:
Portanto:
Assim, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.