Seja a transformação linear , onde a representa um número real. é sobrejetiva? ( é sobrejetiva se o espaço coluna da sua matriz é todo o )
Passo 1
O enunciado dá definida por
Pergunta se é sobrejetiva, ou seja, se o espaço coluna da matriz de vale todo . Para isso precisamos montar a matriz de na base canônica e verificar seu posto (rank).
Passo 2
Na base canônica de e , a matriz de é obtida aplicando aos vetores padrões , , . Assim:
Passo 3
Uma transformação linear R^3toR^4 é sobrejetiva só se rank(A)=4. Mas A tem apenas 3 colunas, logo rank(A)<=3<4. Alternativamente, note que a primeira e a quarta linhas de A são idênticas, garantindo que o posto não ultrapassa 3. Portanto o espaço coluna não é todo R^4.