Seja T: R^3 R^4 a transformação linear T(x, y, z)=(x-y+z, x-y, x+y-z, x-y+z), onde a representa um número real.
T é sobrejetiva? ( T é sobrejetiva se o espaço coluna da sua matriz é todo o R^4)

Passo 1

O enunciado dá T:R^3toR^4 definida por
T(x,y,z) = (,x - y + z,;x - y,;x + y - z,;x - y + z,)
Pergunta se T é sobrejetiva, ou seja, se o espaço coluna da matriz de T vale todo R^4. Para isso precisamos montar a matriz de T na base canônica e verificar seu posto (rank).

Passo 2

Na base canônica de R^3 e R^4, a matriz A de T é obtida aplicando T aos vetores padrões (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Assim:
A = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

Passo 3

Uma transformação linear R^3toR^4 é sobrejetiva só se rank(A)=4. Mas A tem apenas 3 colunas, logo rank(A)<=3<4. Alternativamente, note que a primeira e a quarta linhas de A são idênticas, garantindo que o posto não ultrapassa 3. Portanto o espaço coluna não é todo R^4.

Resposta

T não é sobrejetiva.

Exercícios relacionados