Seja T: R^3 R^4 a transformação linear T(x, y, z)=(x-y+z, x-y, x+y-z, x-y+z), onde a representa um número real.
T é injetiva? ( T é injetiva se o espaço nulo de sua matriz contém somente o vetor nulo)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;T:R^3toR^4 por
T(x,y,z) = (,x - y + z,;x - y,;x + y - z,;x - y + z,)
e pede para verificar se T é injetiva, isto é, se o núcleo de T contém apenas o vetor nulo.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

Passo 3

Procuramos os vetores tais que
ou seja, o sistema homogêneo

Passo 4

Da segunda equação segue ;x=y. Substituindo em x - y + z = 0 vem ;z=0. Finalmente, em x + y - z = 0 obtemos
2x - 0 = 0 Longrightarrow x=0,
logo y=0 e z=0. Portanto
ker(T)=(0,0,0).

Passo 5

Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, a transformação T é injetiva.

Resposta

Sim, T é injetiva.

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