Seja
a transformação linear
, onde a representa um número real.
é injetiva? (
é injetiva se o espaço nulo de sua matriz contém somente o vetor nulo)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
e pede para verificar se
é injetiva, isto é, se o núcleo de
contém apenas o vetor nulo.
Passo 2
Na base canônica, a matriz de
é
Passo 3
Procuramos os vetores
tais que
ou seja, o sistema homogêneo
Passo 4
Da segunda equação segue
;x=y . Substituindo em
x - y + z = 0 vem
;z=0 . Finalmente, em
x + y - z = 0 obtemos
logo
y=0 e
z=0 . Portanto
ker(T)=(0,0,0) .
Passo 5
Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, a transformação
T é injetiva.
Resposta
Sim,
T é injetiva.