Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear com T(x, y, z)=(2 x+3 y, y,-2 z).
Calcule os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (2x + 3y, y, -2z) . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e determinantes, para montar e resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Sabemos que T(x, y, z) = (2x + 3y, y, -2z) . Isso significa que a matriz de T é:
A = 2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de T , que são os mesmos da matriz A , precisamos resolver a equação característica. Isso é feito calculando o determinante de A - lambda I , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
det(A - lambda I) = 0

Passo 4

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 3 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & -2 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda)(-2 - lambda)
Isso porque a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 6

Vamos igualar o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(2 - lambda)(1 - lambda)(-2 - lambda) = 0

Passo 7

Resolvendo cada fator igual a zero:
  1. 2 - lambda = 0 lambda = 2
  2. 1 - lambda = 0 lambda = 1
  3. -2 - lambda = 0 lambda = -2

Resposta

Os autovalores da transformação T são lambda = 2 , lambda = 1 e lambda = -2 .

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