Seja uma transformação linear com .
Calcule os autovalores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e determinantes, para montar e resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Sabemos que . Isso significa que a matriz de é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de T , que são os mesmos da matriz A , precisamos resolver a equação característica. Isso é feito calculando o determinante de A - lambda I , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Isso porque a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 6
Vamos igualar o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(2 - lambda)(1 - lambda)(-2 - lambda) = 0
Passo 7
Resolvendo cada fator igual a zero:
2 - lambda = 0 ⇒ lambda = 2
1 - lambda = 0 ⇒ lambda = 1
-2 - lambda = 0 ⇒ lambda = -2
Resposta
Os autovalores da transformação T são lambda = 2 , lambda = 1 e lambda = -2 .