Seja T uma transformação linear de em , dada pela regra .
Sobre esta transformaçảo, podemos afirmar:
T náo é injetora e nem sobrejetora.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
pela regra
Queremos analisar se é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a ). Para isso usaremos o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e cálculos diretos de núcleo e imagem.
Passo 2
Calcular o núcleo de
Logo o núcleo é
que é um subespaço unidimensional não trivial. Conclusão: não é injetora.
Passo 3
Mostrar que T é sobrejetora. Dado um vetor (x,y,z)inR^3, basta construir uma matriz a & b c & d tal que
a = x, c = y, b-d = z
Por exemplo, escolha b = z e d = 0. Então
Tl(x & z y & 0r) = (x,;y,;z),
o que mostra que todo (x,y,z) está em Im(T), ou seja, Im(T)=R^3. Conclusão: T é sobrejetora.