Seja T uma transformação linear de M2,2 em R^3, dada pela regra T([lla & b c & d])=(a, c, b-d).
Sobre esta transformaçảo, podemos afirmar:
T náo é injetora e nem sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon M2,2toR^3
pela regra
Tl(a & b c & dr) = (a,;c,;b-d)
Queremos analisar se T é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a R^3). Para isso usaremos o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e cálculos diretos de núcleo e imagem.

Passo 2

Calcular o núcleo de
Logo o núcleo é
que é um subespaço unidimensional não trivial. Conclusão: não é injetora.

Passo 3

Mostrar que T é sobrejetora. Dado um vetor (x,y,z)inR^3, basta construir uma matriz
a & b c & d tal que
a = x, c = y, b-d = z
Por exemplo, escolha b = z e d = 0. Então
Tl(x & z y & 0r) = (x,;y,;z),
o que mostra que todo (x,y,z) está em Im(T), ou seja, Im(T)=R^3. Conclusão: T é sobrejetora.

Resposta

T não é injetora e é sobrejetora.

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