Seja T: V → W uma transformação linear. Analise as assertivas e assinale a alternativa que aponta as corretas.
I. T leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.
II. Se
, então
não é linear.
III.
não é suficiente para que
seja linear.
IV. Se
e
, a transformação que leva
em (
) não é injetora.
(A) Apenas I, II e III.
(B) Apenas II, III e IV.
(C) Apenas I e II.
(D) Apenas I e III.
(E) Apenas III e IV.
I. T leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.
II. Se
III.
IV. Se
(A) Apenas I, II e III.
(B) Apenas II, III e IV.
(C) Apenas I e II.
(D) Apenas I e III.
(E) Apenas III e IV.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
é uma transformação linear (essa hipótese é importante). - Pede: analisar as assertivas I a IV e marcar a alternativa correta entre (A)–(E).
As assertivas são:
I. leva o vetor nulo de
no vetor nulo de
.
II. Se , então
não é linear.
III. não é suficiente para que
seja linear.
IV. Se e
, a transformação que leva
em
não é injetora.
I.
II. Se
III.
IV. Se
Vou decidir a verdade de cada uma e então ver qual alternativa (A)–(E) corresponde.
Passo 2
Prova (detalhada) de que qualquer transformação linear manda o vetor zero em zero — isto mostra por que a afirmação do tipo I deve ser verdadeira quando
é linear.
Usarei duas provas equivalentes, bem mastigadas.
Prova 1 (usando aditividade):
- Se
é linear, vale a propriedade de aditividade: para todo , . - Escolha
. Então
- Subtraindo
dos dois lados (no espaço existe soma e inverso), obtém-se
- Conclusão:
(o zero de ).
Prova 2 (usando homogeneidade):
- Para todo
e escalar vale . - Pela homogeneidade da transformação linear,
- Mesma conclusão.
Ambas as provas mostram que mapear zero para zero é uma consequência necessária da linearidade.
Passo 3
Avaliação da assertiva I.
- I diz:
leva o vetor nulo de no vetor nulo de . - Pela prova do passo anterior, isso é verdade sempre que
for linear.
Portanto I é verdadeira.
Passo 4
Avaliação da assertiva II.
- II diz: Se
, então não é linear. - Isso é a contrapartida lógica da propriedade mostrada no passo 2: toda transformação linear satisfaz
. Logo, se uma transformação não satisfaz isso, ela não pode ser linear. - Formalmente, é um argumento por contradição: assumir linearidade e
contradiz a prova dada.
Portanto II é verdadeira.
Passo 5
Avaliação da assertiva III.
- III diz:
não é suficiente para que seja linear. - Isto quer dizer: existe função
que mapeia em mas que não é linear. Se tal exemplo existir, a afirmação é verdadeira.
Vou dar um contraexemplo simples e explícito (muito útil na prova): tome
e defina
por
- Verificar
: , então manda zero em zero. - Verificar linearidade falha: a linearidade exige aditividade e homogeneidade. Por exemplo, aditividade falha:
logo
. Assim
não é linear.
- Portanto existe função que satisfaz
mas não é linear.
Conclusão: III é verdadeira (mandar zero para zero é condição necessária, mas não suficiente).
Passo 6
Avaliação da assertiva IV.
- IV diz: tomando
e , a transformação que leva em não é injetora. - Primeiro, defino a transformação claramente:
dada por . - Lembrete do que significa injetora:
é injetora se, sempre que , então .
Verificação direta:
- Suponha
. Então
- Dois pares ordenados são iguais exatamente quando as componentes correspondentes são iguais; daí
. - Logo
é injetora.
Portanto a afirmação que diz “não é injetora” é falsa. Além disso, observa-se que
é linear e injetora (mas não sobrejetora), mas só a injetividade nos interessa aqui.
Conclusão: IV é falsa.
Passo 7
Resumo das verdades das assertivas:
- I: verdadeira.
- II: verdadeira.
- III: verdadeira.
- IV: falsa.
Agora comparar com as alternativas:
- (A) Apenas I, II e III. — corresponde exatamente ao que achamos.
- As outras alternativas não coincidem com esse conjunto.
Portanto a alternativa correta é a (A).
Resposta
(A)