Seja T: V → W uma transformação linear. Analise as assertivas e assinale a alternativa que aponta as corretas.
I. T leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.
II. Se \mathbf{T}(\overrightarrow{0}) \neq \overrightarrow{0}, então \mathbf{T} não é linear.
III. \mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0} não é suficiente para que \mathbf{T} seja linear.
IV. Se \mathbf{V}=\mathbf{I R} e \mathbf{W}=\mathbf{I R}^{\mathbf{2}}, a transformação que leva x em ( x, 0 ) não é injetora.
(A) Apenas I, II e III.
(B) Apenas II, III e IV.
(C) Apenas I e II.
(D) Apenas I e III.
(E) Apenas III e IV.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: \mathbf{T}: V \to W é uma transformação linear (essa hipótese é importante).
  • Pede: analisar as assertivas I a IV e marcar a alternativa correta entre (A)–(E).
As assertivas são:
I. \mathbf{T}(\overrightarrow{0}) leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.
II. Se \mathbf{T}(\overrightarrow{0}) \neq \overrightarrow{0}, então \mathbf{T} não é linear.
III. \mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0} não é suficiente para que \mathbf{T} seja linear.
IV. Se V=\mathbb{R} e W=\mathbb{R}^{2}, a transformação que leva x em (x,0) não é injetora.
Vou decidir a verdade de cada uma e então ver qual alternativa (A)–(E) corresponde.

Passo 2

Prova (detalhada) de que qualquer transformação linear manda o vetor zero em zero — isto mostra por que a afirmação do tipo I deve ser verdadeira quando \mathbf{T} é linear.
Usarei duas provas equivalentes, bem mastigadas.
Prova 1 (usando aditividade):
  • Se \mathbf{T} é linear, vale a propriedade de aditividade: para todo u,v\in V, \mathbf{T}(u+v)=\mathbf{T}(u)+\mathbf{T}(v).
  • Escolha u=v=\overrightarrow{0}. Então
\mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\mathbf{T}(\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0})=\mathbf{T}(\overrightarrow{0})+\mathbf{T}(\overrightarrow{0}).
  • Subtraindo \mathbf{T}(\overrightarrow{0}) dos dois lados (no espaço W existe soma e inverso), obtém-se
\mathbf{0}_W=\mathbf{T}(\overrightarrow{0}).
  • Conclusão: \mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0} (o zero de W).
Prova 2 (usando homogeneidade):
  • Para todo v\in V e escalar 0 vale 0\cdot v=\overrightarrow{0}.
  • Pela homogeneidade da transformação linear,
\mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\mathbf{T}(0\cdot v)=0\cdot\mathbf{T}(v)=\overrightarrow{0}.
  • Mesma conclusão.
Ambas as provas mostram que mapear zero para zero é uma consequência necessária da linearidade.

Passo 3

Avaliação da assertiva I.
  • I diz: \mathbf{T}(\overrightarrow{0}) leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.
  • Pela prova do passo anterior, isso é verdade sempre que \mathbf{T} for linear.
Portanto I é verdadeira.

Passo 4

Avaliação da assertiva II.
  • II diz: Se \mathbf{T}(\overrightarrow{0}) \neq \overrightarrow{0}, então \mathbf{T} não é linear.
  • Isso é a contrapartida lógica da propriedade mostrada no passo 2: toda transformação linear satisfaz \mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}. Logo, se uma transformação não satisfaz isso, ela não pode ser linear.
  • Formalmente, é um argumento por contradição: assumir linearidade e \mathbf{T}(\overrightarrow{0})\neq\overrightarrow{0} contradiz a prova dada.
Portanto II é verdadeira.

Passo 5

Avaliação da assertiva III.
  • III diz: \mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0} não é suficiente para que \mathbf{T} seja linear.
  • Isto quer dizer: existe função \mathbf{T} que mapeia \overrightarrow{0} em \overrightarrow{0} mas que não é linear. Se tal exemplo existir, a afirmação é verdadeira.
Vou dar um contraexemplo simples e explícito (muito útil na prova): tome V=W=\mathbb{R} e defina \mathbf{T}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
\mathbf{T}(x)=x^{2}.
  • Verificar \mathbf{T}(\overrightarrow{0}): \mathbf{T}(0)=0^{2}=0, então manda zero em zero.
  • Verificar linearidade falha: a linearidade exige aditividade e homogeneidade. Por exemplo, aditividade falha:
\mathbf{T}(1+1)=\mathbf{T}(2)=4, \qquad \mathbf{T}(1)+\mathbf{T}(1)=1+1=2,
logo \mathbf{T}(1+1)\neq \mathbf{T}(1)+\mathbf{T}(1). Assim \mathbf{T} não é linear.
  • Portanto existe função que satisfaz \mathbf{T}(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0} mas não é linear.
Conclusão: III é verdadeira (mandar zero para zero é condição necessária, mas não suficiente).

Passo 6

Avaliação da assertiva IV.
  • IV diz: tomando V=\mathbb{R} e W=\mathbb{R}^{2}, a transformação que leva x em (x,0) não é injetora.
  • Primeiro, defino a transformação claramente: \mathbf{T}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathbf{T}(x)=(x,0).
  • Lembrete do que significa injetora: \mathbf{T} é injetora se, sempre que \mathbf{T}(x_{1})=\mathbf{T}(x_{2}), então x_{1}=x_{2}.
Verificação direta:
  • Suponha \mathbf{T}(x_{1})=\mathbf{T}(x_{2}). Então
(x_{1},0)=(x_{2},0).
  • Dois pares ordenados são iguais exatamente quando as componentes correspondentes são iguais; daí x_{1}=x_{2}.
  • Logo \mathbf{T} é injetora.
Portanto a afirmação que diz “não é injetora” é falsa. Além disso, observa-se que \mathbf{T} é linear e injetora (mas não sobrejetora), mas só a injetividade nos interessa aqui.
Conclusão: IV é falsa.

Passo 7

Resumo das verdades das assertivas:
  • I: verdadeira.
  • II: verdadeira.
  • III: verdadeira.
  • IV: falsa.
Agora comparar com as alternativas:
  • (A) Apenas I, II e III. — corresponde exatamente ao que achamos.
  • As outras alternativas não coincidem com esse conjunto.
Portanto a alternativa correta é a (A).

Resposta

(A)

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