Seja T: V W uma transformação linear sobrejetora. Mostre que existe uma bijeção entre o conjunto dos subespaços de V contendo ker(T) e subespaços de W.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar subespaços de V que contêm ker(T) com subespaços de W, sabendo que T: V→W é linear e sobrejetora. Vamos usar a ideia de enviar cada subespaço pelo T (imagem) e, invertendo, pelas pré-imagens, apoiados no Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 2

Definimos a função f do conjunto de subespaços U de V com ker(T)⊆U no conjunto de subespaços de W por
$$
f(U)=T(U)={T(u):u\in U}.$$
Como T é linear, T(U) é subespaço de W.

Passo 3

Para construir a inversa, definimos g do conjunto de subespaços Y de W para subespaços de V que contêm ker(T) por
$$
g(Y)=T^{-1}(Y)={v\in V:T(v)\in Y}.$$
A pré-imagem de um subespaço por transformação linear é subespaço, e fica claro que ker(T)⊆T^{-1}(Y).

Passo 4

Mostramos que f∘g é identidade em subespaços de W. De fato, para Y qualquer subespaço de W, usando que T é sobrejetora:
f(g(Y))=Tl(T^-1(Y)r)=Y
Isso vale porque toda w∈Y tem v∈V com T(v)=w.

Passo 5

Agora mostramos que g∘f é identidade em subespaços U de V com ker(T)⊆U. Pegue u∈T^{-1}(T(U)). Então T(u)∈T(U), logo existe u’∈U com T(u)=T(u’). Daí u−u’∈ker(T)⊆U e como U é subespaço, u = (u−u’)+u’ ∈ U. Assim
T^-1(T(U))=U

Passo 6

Portanto f e g são bijeções inversas uma da outra. Concluímos que existe uma correspondência biunívoca entre subespaços de V contendo ker(T) e subespaços de W.

Resposta

A bijeção é dada por U↦T(U) com inversa Y↦T^{-1}(Y).

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