Seja Y a taxa de chamadas (chamadas/hora) que chegam em uma central. Seja X o número de chamadas durante um período de duas horas. Neste tipo de problema, uma escolha usual de uma função de densidade/função de probabilidade conjunta para ( \mathrm{X}, \mathrm{Y}\) ) é dada por uma função do tipo: \[f(x, y)= \begin{cases}\frac{(2 y)^{x}}{x!} \mathrm{e}^{-3 y} & , \text { se } y>0 \text { e } x=0,1,2, \ldots \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}
a. Verifique que f\] é uma função de densidade de probabilidade / função de probabilidade conjunta. Resp.: Dica: Use a fórmula de expansão em série de potências de \(e^{2 y}.
b. Encontre \mathrm{P}\{X=0\}. Resp.: 1/3.

Passo 1

O enunciado apresenta uma distribuição conjunta mista em (X,Y), onde X é discreto x=0,1,2,\dots e Y contínuo y>0, com densidade/massa
f(x,y)=\frac{(2y)^x}{x!}e^{-3y}.
Vamos verificar (a) que essa função se normaliza (isto é, soma/integral total igual a 1) usando a série de potências de e^{2y} e (b) calcular \mathrm{P}\{X=0\} por marginalização.

Passo 2

Para normalizar, primeiro somamos sobre x:
\sum_{x=0}^\infty f(x,y) =\sum_{x=0}^\infty \frac{(2y)^x}{x!}e^{-3y} =e^{-3y}\sum_{x=0}^\infty \frac{(2y)^x}{x!} =e^{-3y}e^{2y} =e^{-y}.
Em seguida, integramos sobre y>0:
\sum_{x=0}^\infty \int_0^\infty f(x,y)\,dy =\int_0^\infty e^{-y}\,dy \;=\;1.
Logo, f é de fato uma função de probabilidade conjunta válida.

Passo 3

Para encontrar \mathrm{P}\{X=0\}, basta marginalizar em Y:
\mathrm{P}\{X=0\} =\int_0^\infty f(0,y)\,dy =\int_0^\infty e^{-3y}\,dy =\Bigl[-\tfrac{1}{3}e^{-3y}\Bigr]_0^\infty =\tfrac{1}{3}.

Resposta

(a) A soma/integral total é igual a 1, logo f é uma função de probabilidade conjunta válida.
(b) \mathrm{P}\{X=0\}=\tfrac{1}{3}.

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