Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)= \begin{cases}c\left(x^{2}+y\right) & , \text { para } 0 \leq y \leq 1-x^{2} \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
\mathrm{P}\left\{0 \leq X \leq 1 / 2\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade conjunta
f(x,y)= \begin{cases} c\bigl(x^2+y\bigr),&0\le y\le1-x^2,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede a probabilidade \mathrm{P}\{0\le X\le\tfrac12\}.
Para resolver, vamos primeiro determinar a constante de normalização c exigida por
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dy\,dx=1,
e em seguida integrar f em x de 0 a 1/2 e em y de 0 a 1 - x^2.

Passo 2

Normalizando f:
1 =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{\,1-x^2}c\bigl(x^2+y\bigr)\,dy\,dx.
Calculemos a integral interna:
\int_{0}^{1-x^2}\bigl(x^2+y\bigr)\,dy =\Bigl[x^2\,y+\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{1-x^2} =x^2(1-x^2)+\tfrac{(1-x^2)^2}{2} =\tfrac{1 - x^4}{2}.
Logo
1 =c\int_{-1}^{1}\tfrac{1 - x^4}{2}\,dx =\tfrac{c}{2}\Bigl[\int_{-1}^{1}1\,dx-\int_{-1}^{1}x^4\,dx\Bigr] =\tfrac{c}{2}\bigl[2-\tfrac{2}{5}\bigr] =\tfrac{4c}{5},
de onde
c=\tfrac{5}{4}.

Passo 3

Agora calculamos
\mathrm{P}\{0\le X\le\tfrac12\} =\int_{x=0}^{\tfrac12}\int_{y=0}^{\,1-x^2}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{\tfrac12}\int_{0}^{\,1-x^2}\tfrac{5}{4}\bigl(x^2+y\bigr)\,dy\,dx.
Usamos de novo
\int_{0}^{1-x^2}\bigl(x^2+y\bigr)\,dy =\tfrac{1 - x^4}{2},
portanto
\mathrm{P}\{0\le X\le\tfrac12\} =\tfrac{5}{4}\int_{0}^{\tfrac12}\tfrac{1 - x^4}{2}\,dx =\tfrac{5}{8}\Bigl[\int_{0}^{\tfrac12}1\,dx-\int_{0}^{\tfrac12}x^4\,dx\Bigr].
Calculamos
\int_{0}^{\tfrac12}1\,dx=\tfrac12, \quad \int_{0}^{\tfrac12}x^4\,dx =\Bigl[\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{\tfrac12} =\tfrac{1}{5}\,\tfrac1{32} =\tfrac1{160},
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\mathrm{P}\{0\le X\le\tfrac12\} =\tfrac{5}{8}\Bigl(\tfrac12-\tfrac1{160}\Bigr) =\tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{79}{160} =\tfrac{395}{1280} =\tfrac{79}{256}.

Resposta

\mathrm{P}\{0\le X\le\tfrac12\}=\tfrac{79}{256}.

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