Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)= \begin{cases}c\left(x^{2}+y\right) & , \text { para } 0 \leq y \leq 1-x^{2} \\\\ 0 & , \text { caso contrário }\end{cases}á
\mathrm{P}\left\{Y=X^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a função de densidade conjunta
f(x,y)= \begin{cases} c\bigl(x^{2}+y\bigr),&0\le y\le1-x^{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede a probabilidade \mathrm{P}\{Y=X^{2}\}. O conteúdo é probabilidade de evento definido por y=x^{2} em uma distribuição contínua bidimensional.

Passo 2

Como (X,Y) é absolutamente contínua (tem densidade em \mathbb{R}^{2}), qualquer evento que corresponda a uma curva (dimensão 1) tem medida de Lebesgue 0 no plano. Portanto
\mathrm{P}\{Y=X^{2}\}=0.

Resposta

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