Seja V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta. \left(1,0\right. ponto) W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): a=d^{2}\right. e \left.b=c\right\} é subespaço vetorial de V.
Passo 1
O espaço V é o conjunto de todas as matrizes 2\times2 reais, e
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}): a=d^2\\ \text{e}\\ b=c\right\}
é o subconjunto dado pelas condições a=d^2 e b=c. Para ser subespaço vetorial, W precisa ser não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro que a matriz nula está em W. De fato, para
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
temos a=0, d=0, logo a=d^2 é 0=0^2, e b=c=0. Portanto, 0\in W.
Passo 3
Basta encontrar uma falha na soma ou na multiplicação escalar. Vamos testar a segunda. Seja
M = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\in W,
pois a=1=d^2 e b=c=0. Tome o escalar t=2. Então
tM = \begin{pmatrix}2 & 0\\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Aqui a'=2 e d'=2, mas (d')^2=4\neq2=a'. Logo tM\notin W, mostrando que W não é fechado sob multiplicação escalar.