Sejam
e
e
um subespaço de
.
a) ( 1,0 ponto) Determine
gederado(es) de
.
b) ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço
de
com
, tal que
, justificando a sua resposta.
um subespaço de
a) ( 1,0 ponto) Determine
b) ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço
Passo 1
O enunciado trabalha em
e define
Pede a) um(s) vetor(es) que gere(m)
(ou seja, um conjunto cujo span seja
) e b) encontrar um subespaço
de dimensão 2 tal que
Para resolver vamos usar definição de subespaço, parametrização por variáveis livres, conceito de base, soma direta e dimensões.
Passo 2
Para caracterizar
note que em todo vetor
vale
e
. Chamando
, temos
com
. Logo
Portanto o conjunto
gera
.
Passo 3
Queremos um subespaço
de dimensão 2 que complemente
. Uma escolha natural é deixar o terceiro componente zero, por exemplo
Aqui
e uma base é
.
Passo 4
Verificamos que
. De fato, se
, então deve existir
tal que
Isto força
(porque o terceiro componente é
), e então
. Assim
. Como
e
, pela fórmula
seguimos que
e a soma é direta:
.
Resposta
a) Um gerador de
é
, pois
b) Podemos tomar
que tem dimensão 2 e satisfaz
.