Sejam V=\mathbb{R}^{3} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=z\right. e \left.y=z\right\}
um subespaço de V.
a) ( 1,0 ponto) Determine \mathrm{o}(\mathrm{s}) gederado(es) de W.
b) ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço U de \mathbb{R}^{3} com \operatorname{dim} U=2, tal que U \oplus W=\mathbb{R}^{3}, justificando a sua resposta.

Passo 1

O enunciado trabalha em V=\mathbb{R}^{3} e define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x=z \text{ e } y=z\}.
Pede a) um(s) vetor(es) que gere(m) W (ou seja, um conjunto cujo span seja W) e b) encontrar um subespaço U\subset\mathbb{R}^3 de dimensão 2 tal que
U \oplus W = \mathbb{R}^3.
Para resolver vamos usar definição de subespaço, parametrização por variáveis livres, conceito de base, soma direta e dimensões.

Passo 2

Para caracterizar W note que em todo vetor (x,y,z)\in W vale x=z e y=z. Chamando z=t, temos
(x,y,z) = (t,t,t) = t\,(1,1,1),
com t\in\mathbb{R}. Logo
W = \{\,t\,(1,1,1) : t\in\mathbb{R}\} = \text{span}\{(1,1,1)\}.
Portanto o conjunto \{(1,1,1)\} gera W.

Passo 3

Queremos um subespaço U de dimensão 2 que complemente W. Uma escolha natural é deixar o terceiro componente zero, por exemplo
U = \{(x,y,0) : x,y\in\mathbb{R}\} = \text{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.
Aqui \dim U = 2 e uma base é \{(1,0,0),(0,1,0)\}.

Passo 4

Verificamos que U\cap W = \{0\}. De fato, se (x,y,0)\in U\cap W, então deve existir t tal que
(x,y,0) = t\,(1,1,1) = (t,t,t).
Isto força t=0 (porque o terceiro componente é 0=t), e então (x,y,0)=(0,0,0). Assim \dim(U\cap W)=0. Como \dim U=2 e \dim W=1, pela fórmula
\dim(U+W)=\dim U + \dim W - \dim(U\cap W)=2+1-0=3,
seguimos que U+W=\mathbb{R}^3 e a soma é direta: U\oplus W=\mathbb{R}^3.

Resposta

a) Um gerador de W é (1,1,1), pois
W = \mathrm{span}\{(1,1,1)\}.
b) Podemos tomar
U = \mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},
que tem dimensão 2 e satisfaz U\oplus W=\mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados