Sejam V=\mathbb{R}^{3}, U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-2 y-2 z=0\right\} e
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z-y=0\right\} subespaços de V. Determine:
a) (1,5 pontos ) U \cap W.
b) (1,5 pontos ) \operatorname{dim}(U+W).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e os subespaços
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y-2z=0\},
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z-y=0\}.
Pede-se (a) descrever U\cap W e (b) calcular \dim(U+W). Vamos usar resolução de sistemas lineares para achar a interseção e a fórmula de dimensões
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

Passo 2

Para achar U\cap W impomos simultaneamente
x-2y-2z=0,
z-y=0.
Da segunda equação vem z=y. Substituindo em x-2y-2z=0 obtemos
x-2y-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=4y.
Logo todo vetor de U\cap W tem a forma (x,y,z)=(4y,y,y).

Passo 3

A parametrização (4y,y,y)=y\,(4,1,1) mostra que
U\cap W=\operatorname{span}\{(4,1,1)\},
ou seja, é uma reta passando pela origem. Portanto
\dim(U\cap W)=1.

Passo 4

Sabendo que U e W são cada uma de dimensão 2 (ambas definidas por uma única equação linear não degenerada em \mathbb{R}^3), aplicamos
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+2-1=3.

Resposta

(a) U\cap W=\{(4y,y,y)\mid y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(4,1,1)\}.
(b) \dim(U+W)=3.

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